Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 22786 / 6402
↖ ↑ ↗
← N 73.220358°
E 70.334473°		 ← 352.66 m → N 73.220358°
E 70.345459°		 →
↑
352.70 m
↓
↑
352.70 m
↓
N 73.217186°
E 70.334473°		 ← 352.72 m →
124 394 m²		 N 73.217186°
E 70.345459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22786 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.695388793945312 y=0.195388793945312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.695388793945312 × 215)
    floor (0.695388793945312 × 32768)
    floor (22786.5)     		tx = 22786
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195388793945312 × 215)
    floor (0.195388793945312 × 32768)
    floor (6402.5)     		ty = 6402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22786 / 6402 ti = "15/22786/6402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22786/6402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22786 ÷ 215
    22786 ÷ 32768     		x = 0.69537353515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6402 ÷ 215
    6402 ÷ 32768     		y = 0.19537353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69537353515625 × 2 - 1) × π
    0.3907470703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.22756813
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19537353515625 × 2 - 1) × π
    0.6092529296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9140245280296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.22756813} λ = 1.22756813}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9140245280296))-π/2
    2×atan(6.7803215564291)-π/2
    2×1.42436632262921-π/2
    2.84873264525842-1.57079632675     		φ = 1.27793632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.22756813} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.334473°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27793632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.220358°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22786 KachelY 6402 1.22756813 1.27793632 70.334473 73.220358
    Oben rechts KachelX + 1 22787 KachelY 6402 1.22775987 1.27793632 70.345459 73.220358
    Unten links KachelX 22786 KachelY + 1 6403 1.22756813 1.27788096 70.334473 73.217186
    Unten rechts KachelX + 1 22787 KachelY + 1 6403 1.22775987 1.27788096 70.345459 73.217186
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27793632-1.27788096) × R
    5.53599999999488e-05 × 6371000     		dl = 352.698559999674m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27793632-1.27788096) × R
    5.53599999999488e-05 × 6371000     		dr = 352.698559999674m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.22756813-1.22775987) × cos(1.27793632) × R
    0.000191739999999996 × 0.288691635871637 × 6371000     		do = 352.65864098337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.22756813-1.22775987) × cos(1.27788096) × R
    0.000191739999999996 × 0.288744638318472 × 6371000     		du = 352.723387475984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27793632)-sin(1.27788096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.288691635871637-0.288744638318472)×R²
    abs(1.22775987-1.22756813)×5.30024468349266e-05×R²
    0.000191739999999996×5.30024468349266e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.30024468349266e-05×40589641000000     		ar = 124393.612875595m²