Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22800 / 6416
↖ ↑ ↗
← N 73.175897°
E 70.488281°		 ← 353.58 m → N 73.175897°
E 70.499268°		 →
↑
353.59 m
↓
↑
353.59 m
↓
N 73.172717°
E 70.488281°		 ← 353.65 m →
125 036 m²		 N 73.172717°
E 70.499268°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22800 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6416 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.695816040039062 y=0.195816040039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.695816040039062 × 215)
    floor (0.695816040039062 × 32768)
    floor (22800.5)     		tx = 22800
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.195816040039062 × 215)
    floor (0.195816040039062 × 32768)
    floor (6416.5)     		ty = 6416
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22800 / 6416 ti = "15/22800/6416"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22800/6416.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22800 ÷ 215
    22800 ÷ 32768     		x = 0.69580078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6416 ÷ 215
    6416 ÷ 32768     		y = 0.19580078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.69580078125 × 2 - 1) × π
    0.3916015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.23025259
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19580078125 × 2 - 1) × π
    0.6083984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.91134006165088
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.23025259} λ = 1.23025259}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91134006165088))-π/2
    2×atan(6.76214442004559)-π/2
    2×1.42397833278507-π/2
    2.84795666557014-1.57079632675     		φ = 1.27716034
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.23025259} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.488281°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27716034 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.175897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22800 KachelY 6416 1.23025259 1.27716034 70.488281 73.175897
    Oben rechts KachelX + 1 22801 KachelY 6416 1.23044434 1.27716034 70.499268 73.175897
    Unten links KachelX 22800 KachelY + 1 6417 1.23025259 1.27710484 70.488281 73.172717
    Unten rechts KachelX + 1 22801 KachelY + 1 6417 1.23044434 1.27710484 70.499268 73.172717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27716034-1.27710484) × R
    5.54999999999861e-05 × 6371000     		dl = 353.590499999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27716034-1.27710484) × R
    5.54999999999861e-05 × 6371000     		dr = 353.590499999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.23025259-1.23044434) × cos(1.27716034) × R
    0.000191749999999935 × 0.289434489306181 × 6371000     		do = 353.584532440016m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.23025259-1.23044434) × cos(1.27710484) × R
    0.000191749999999935 × 0.289487613339682 × 6371000     		du = 353.649430844459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27716034)-sin(1.27710484))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.289434489306181-0.289487613339682)×R²
    abs(1.23044434-1.23025259)×5.31240335011618e-05×R²
    0.000191749999999935×5.31240335011618e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.31240335011618e-05×40589641000000     		ar = 125035.60537998m²