Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22816 / 6432
↖ ↑ ↗
← N 73.124945°
E 70.664062°		 ← 354.62 m → N 73.124945°
E 70.675049°		 →
↑
354.67 m
↓
↑
354.67 m
↓
N 73.121756°
E 70.664062°		 ← 354.69 m →
125 787 m²		 N 73.121756°
E 70.675049°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.696304321289062 y=0.196304321289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.696304321289062 × 215)
    floor (0.696304321289062 × 32768)
    floor (22816.5)     		tx = 22816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.196304321289062 × 215)
    floor (0.196304321289062 × 32768)
    floor (6432.5)     		ty = 6432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22816 / 6432 ti = "15/22816/6432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22816/6432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22816 ÷ 215
    22816 ÷ 32768     		x = 0.6962890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6432 ÷ 215
    6432 ÷ 32768     		y = 0.1962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.6962890625 × 2 - 1) × π
    0.392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.23332055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.1962890625 × 2 - 1) × π
    0.607421875 × 3.1415926535     		Φ = 1.9082721000752
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.23332055} λ = 1.23332055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.9082721000752))-π/2
    2×atan(6.74143021223999)-π/2
    2×1.423533693341-π/2
    2.84706738668201-1.57079632675     		φ = 1.27627106
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.23332055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 70.664062°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27627106 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.124945°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22816 KachelY 6432 1.23332055 1.27627106 70.664062 73.124945
    Oben rechts KachelX + 1 22817 KachelY 6432 1.23351230 1.27627106 70.675049 73.124945
    Unten links KachelX 22816 KachelY + 1 6433 1.23332055 1.27621539 70.664062 73.121756
    Unten rechts KachelX + 1 22817 KachelY + 1 6433 1.23351230 1.27621539 70.675049 73.121756
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27627106-1.27621539) × R
    5.56700000000632e-05 × 6371000     		dl = 354.673570000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27627106-1.27621539) × R
    5.56700000000632e-05 × 6371000     		dr = 354.673570000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.23332055-1.23351230) × cos(1.27627106) × R
    0.000191749999999935 × 0.290285591630776 × 6371000     		do = 354.624272445507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.23332055-1.23351230) × cos(1.27621539) × R
    0.000191749999999935 × 0.290338864033978 × 6371000     		du = 354.689352104201m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27627106)-sin(1.27621539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.290285591630776-0.290338864033978)×R²
    abs(1.23351230-1.23332055)×5.32724032022425e-05×R²
    0.000191749999999935×5.32724032022425e-05×6371000²
    0.000191749999999935×5.32724032022425e-05×40589641000000     		ar = 125787.397766637m²