Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 22848 / 6464
↖ ↑ ↗
← N 73.022592°
E 71.015625°		 ← 356.69 m → N 73.022592°
E 71.026611°		 →
↑
356.71 m
↓
↑
356.71 m
↓
N 73.019384°
E 71.015625°		 ← 356.76 m →
127 249 m²		 N 73.019384°
E 71.026611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 22848 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6464 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.697280883789062 y=0.197280883789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.697280883789062 × 215)
    floor (0.697280883789062 × 32768)
    floor (22848.5)     		tx = 22848
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.197280883789062 × 215)
    floor (0.197280883789062 × 32768)
    floor (6464.5)     		ty = 6464
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 22848 / 6464 ti = "15/22848/6464"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/22848/6464.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 22848 ÷ 215
    22848 ÷ 32768     		x = 0.697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6464 ÷ 215
    6464 ÷ 32768     		y = 0.197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.697265625 × 2 - 1) × π
    0.39453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.23945648
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.197265625 × 2 - 1) × π
    0.60546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.90213617692383
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.23945648} λ = 1.23945648}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.90213617692383))-π/2
    2×atan(6.70019196128016)-π/2
    2×1.42264048902014-π/2
    2.84528097804029-1.57079632675     		φ = 1.27448465
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.23945648} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 71.015625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27448465 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.022592°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 22848 KachelY 6464 1.23945648 1.27448465 71.015625 73.022592
    Oben rechts KachelX + 1 22849 KachelY 6464 1.23964822 1.27448465 71.026611 73.022592
    Unten links KachelX 22848 KachelY + 1 6465 1.23945648 1.27442866 71.015625 73.019384
    Unten rechts KachelX + 1 22849 KachelY + 1 6465 1.23964822 1.27442866 71.026611 73.019384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27448465-1.27442866) × R
    5.59899999998947e-05 × 6371000     		dl = 356.712289999329m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27448465-1.27442866) × R
    5.59899999998947e-05 × 6371000     		dr = 356.712289999329m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.23945648-1.23964822) × cos(1.27448465) × R
    0.000191739999999996 × 0.291994614822817 × 6371000     		do = 356.693479279267m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.23945648-1.23964822) × cos(1.27442866) × R
    0.000191739999999996 × 0.292048164318813 × 6371000     		du = 356.758894033754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27448465)-sin(1.27442866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.291994614822817-0.292048164318813)×R²
    abs(1.23964822-1.23945648)×5.3549495995453e-05×R²
    0.000191739999999996×5.3549495995453e-05×6371000²
    0.000191739999999996×5.3549495995453e-05×40589641000000     		ar = 127248.614977896m²