Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 23 / 41
↖ ↑ ↗
← S 45.089036°
W 50.625000°		 ← 441.587 km → S 45.089036°
W 45.000000°		 →
↑
426.262 km
↓
↑
426.262 km
↓
S 48.922499°
W 50.625000°		 ← 410.984 km →
181 777 km²		 S 48.922499°
W 45.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3671875 y=0.6484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3671875 × 26)
    floor (0.3671875 × 64)
    floor (23.5)     		tx = 23
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.6484375 × 26)
    floor (0.6484375 × 64)
    floor (41.5)     		ty = 41
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 23 / 41 ti = "6/23/41"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/23/41.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23 ÷ 26
    23 ÷ 64     		x = 0.359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41 ÷ 26
    41 ÷ 64     		y = 0.640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359375 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.640625 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Φ = -0.883572933796875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88357293} λ = -0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.883572933796875))-π/2
    2×atan(0.413303564177177)-π/2
    2×0.391922099828802-π/2
    0.783844199657604-1.57079632675     		φ = -0.78695213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.78695213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -45.089036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23 KachelY 41 -0.88357293 -0.78695213 -50.625000 -45.089036
    Oben rechts KachelX + 1 24 KachelY 41 -0.78539816 -0.78695213 -45.000000 -45.089036
    Unten links KachelX 23 KachelY + 1 42 -0.88357293 -0.85385869 -50.625000 -48.922499
    Unten rechts KachelX + 1 24 KachelY + 1 42 -0.78539816 -0.85385869 -45.000000 -48.922499
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.78695213--0.85385869) × R
    0.0669065600000001 × 6371000     		dl = 426261.69376m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.78695213--0.85385869) × R
    0.0669065600000001 × 6371000     		dr = 426261.69376m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88357293--0.78539816) × cos(-0.78695213) × R
    0.0981747700000001 × 0.706007107541517 × 6371000     		do = 441587.296091387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88357293--0.78539816) × cos(-0.85385869) × R
    0.0981747700000001 × 0.657079281492828 × 6371000     		du = 410984.337314234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.78695213)-sin(-0.85385869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.706007107541517-0.657079281492828)×R²
    abs(-0.78539816--0.88357293)×0.0489278260486892×R²
    0.0981747700000001×0.0489278260486892×6371000²
    0.0981747700000001×0.0489278260486892×40589641000000     		ar = 181777129571.473m²