Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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5 / 23 / 7
↖ ↑ ↗
← N 70.612614°
E 78.750000°		 ← 415.255 km → N 70.612614°
E 90.000000°		 →
↑
455.827 km
↓
↑
455.827 km
↓
N 66.513260°
E 78.750000°		 ← 498.547 km →
208 357 km²		 N 66.513260°
E 90.000000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 7 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.734375 y=0.234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.734375 × 25)
    floor (0.734375 × 32)
    floor (23.5)     		tx = 23
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.234375 × 25)
    floor (0.234375 × 32)
    floor (7.5)     		ty = 7
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 23 / 7 ti = "5/23/7"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/23/7.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23 ÷ 25
    23 ÷ 32     		x = 0.71875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 7 ÷ 25
    7 ÷ 32     		y = 0.21875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71875 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Λ = 1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21875 × 2 - 1) × π
    0.5625 × 3.1415926535     		Φ = 1.76714586759375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37444679} λ = 1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76714586759375))-π/2
    2×atan(5.85412105801472)-π/2
    2×1.4016094693361-π/2
    2.80321893867219-1.57079632675     		φ = 1.23242261
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23242261 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.612614°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23 KachelY 7 1.37444679 1.23242261 78.750000 70.612614
    Oben rechts KachelX + 1 24 KachelY 7 1.57079633 1.23242261 90.000000 70.612614
    Unten links KachelX 23 KachelY + 1 8 1.37444679 1.16087539 78.750000 66.513260
    Unten rechts KachelX + 1 24 KachelY + 1 8 1.57079633 1.16087539 90.000000 66.513260
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23242261-1.16087539) × R
    0.07154722 × 6371000     		dl = 455827.33862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23242261-1.16087539) × R
    0.07154722 × 6371000     		dr = 455827.33862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37444679-1.57079633) × cos(1.23242261) × R
    0.19634954 × 0.331953465734817 × 6371000     		do = 415254.837511342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37444679-1.57079633) × cos(1.16087539) × R
    0.19634954 × 0.398536816226928 × 6371000     		du = 498546.808355383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23242261)-sin(1.16087539))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.331953465734817-0.398536816226928)×R²
    abs(1.57079633-1.37444679)×0.0665833504921113×R²
    0.19634954×0.0665833504921113×6371000²
    0.19634954×0.0665833504921113×40589641000000     		ar = 208356775324.185m²