Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 230 / 102
↖ ↑ ↗
← N 34.307144°
E143.437500°		 ← 129.164 km → N 34.307144°
E144.843750°		 →
↑
130.053 km
↓
↑
130.053 km
↓
N 33.137551°
E143.437500°		 ← 130.936 km →
16 914 km²		 N 33.137551°
E144.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 230 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.900390625 y=0.400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.900390625 × 28)
    floor (0.900390625 × 256)
    floor (230.5)     		tx = 230
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.400390625 × 28)
    floor (0.400390625 × 256)
    floor (102.5)     		ty = 102
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 230 / 102 ti = "8/230/102"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/230/102.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 230 ÷ 28
    230 ÷ 256     		x = 0.8984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102 ÷ 28
    102 ÷ 256     		y = 0.3984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.8984375 × 2 - 1) × π
    0.796875 × 3.1415926535     		Λ = 2.50345665
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3984375 × 2 - 1) × π
    0.203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.638136007742187
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.50345665} λ = 2.50345665}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.638136007742187))-π/2
    2×atan(1.89294914621298)-π/2
    2×1.0847844720137-π/2
    2.1695689440274-1.57079632675     		φ = 0.59877262
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.50345665} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 143.437500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.59877262 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 34.307144°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 230 KachelY 102 2.50345665 0.59877262 143.437500 34.307144
    Oben rechts KachelX + 1 231 KachelY 102 2.52800034 0.59877262 144.843750 34.307144
    Unten links KachelX 230 KachelY + 1 103 2.50345665 0.57835937 143.437500 33.137551
    Unten rechts KachelX + 1 231 KachelY + 1 103 2.52800034 0.57835937 144.843750 33.137551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.59877262-0.57835937) × R
    0.0204132499999999 × 6371000     		dl = 130052.81575m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.59877262-0.57835937) × R
    0.0204132499999999 × 6371000     		dr = 130052.81575m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.50345665-2.52800034) × cos(0.59877262) × R
    0.0245436900000002 × 0.826028023946516 × 6371000     		do = 129164.225309978m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.50345665-2.52800034) × cos(0.57835937) × R
    0.0245436900000002 × 0.837360628284139 × 6371000     		du = 130936.280273707m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.59877262)-sin(0.57835937))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.826028023946516-0.837360628284139)×R²
    abs(2.52800034-2.50345665)×0.0113326043376234×R²
    0.0245436900000002×0.0113326043376234×6371000²
    0.0245436900000002×0.0113326043376234×40589641000000     		ar = 16913988908.0155m²