Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2300 / 2316
↖ ↑ ↗
← S 22.917923°
E 22.148438°		 ← 9 001.54 m → S 22.917923°
E 22.236328°		 →
↑
8 998.85 m
↓
↑
8 998.85 m
↓
S 22.998851°
E 22.148438°		 ← 8 996.16 m →
80 979 285 m²		 S 22.998851°
E 22.236328°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2300 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2316 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5616455078125 y=0.5655517578125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5616455078125 × 212)
    floor (0.5616455078125 × 4096)
    floor (2300.5)     		tx = 2300
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5655517578125 × 212)
    floor (0.5655517578125 × 4096)
    floor (2316.5)     		ty = 2316
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2300 / 2316 ti = "12/2300/2316"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2300/2316.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2300 ÷ 212
    2300 ÷ 4096     		x = 0.5615234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2316 ÷ 212
    2316 ÷ 4096     		y = 0.5654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5615234375 × 2 - 1) × π
    0.123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38656316
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5654296875 × 2 - 1) × π
    -0.130859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.411106851141602
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38656316} λ = 0.38656316}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.411106851141602))-π/2
    2×atan(0.6629160944748)-π/2
    2×0.585401556925823-π/2
    1.17080311385165-1.57079632675     		φ = -0.39999321
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38656316} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.148438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.39999321 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.917923°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2300 KachelY 2316 0.38656316 -0.39999321 22.148438 -22.917923
    Oben rechts KachelX + 1 2301 KachelY 2316 0.38809714 -0.39999321 22.236328 -22.917923
    Unten links KachelX 2300 KachelY + 1 2317 0.38656316 -0.40140568 22.148438 -22.998851
    Unten rechts KachelX + 1 2301 KachelY + 1 2317 0.38809714 -0.40140568 22.236328 -22.998851
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.39999321--0.40140568) × R
    0.00141247 × 6371000     		dl = 8998.84636999999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.39999321--0.40140568) × R
    0.00141247 × 6371000     		dr = 8998.84636999999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38656316-0.38809714) × cos(-0.39999321) × R
    0.00153397999999999 × 0.921063638132197 × 6371000     		do = 9001.54257479188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38656316-0.38809714) × cos(-0.40140568) × R
    0.00153397999999999 × 0.92051268662898 × 6371000     		du = 8996.15813314471m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.39999321)-sin(-0.40140568))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.921063638132197-0.92051268662898)×R²
    abs(0.38809714-0.38656316)×0.000550951503217045×R²
    0.00153397999999999×0.000550951503217045×6371000²
    0.00153397999999999×0.000550951503217045×40589641000000     		ar = 80979285.30527m²