Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2305 / 2303
↖ ↑ ↗
← S 21.861499°
E 22.587890°		 ← 9 070.18 m → S 21.861499°
E 22.675781°		 →
↑
9 067.59 m
↓
↑
9 067.59 m
↓
S 21.943045°
E 22.587890°		 ← 9 064.99 m →
82 221 147 m²		 S 21.943045°
E 22.675781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2305 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2303 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5628662109375 y=0.5623779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5628662109375 × 212)
    floor (0.5628662109375 × 4096)
    floor (2305.5)     		tx = 2305
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5623779296875 × 212)
    floor (0.5623779296875 × 4096)
    floor (2303.5)     		ty = 2303
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2305 / 2303 ti = "12/2305/2303"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2305/2303.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2305 ÷ 212
    2305 ÷ 4096     		x = 0.562744140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2303 ÷ 212
    2303 ÷ 4096     		y = 0.562255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.562744140625 × 2 - 1) × π
    0.12548828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39423306
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.562255859375 × 2 - 1) × π
    -0.12451171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.391165100899658
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39423306} λ = 0.39423306}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.391165100899658))-π/2
    2×atan(0.676268494284998)-π/2
    2×0.594620597234949-π/2
    1.1892411944699-1.57079632675     		φ = -0.38155513
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39423306} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.587890°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38155513 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -21.861499°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2305 KachelY 2303 0.39423306 -0.38155513 22.587890 -21.861499
    Oben rechts KachelX + 1 2306 KachelY 2303 0.39576704 -0.38155513 22.675781 -21.861499
    Unten links KachelX 2305 KachelY + 1 2304 0.39423306 -0.38297839 22.587890 -21.943045
    Unten rechts KachelX + 1 2306 KachelY + 1 2304 0.39576704 -0.38297839 22.675781 -21.943045
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38155513--0.38297839) × R
    0.00142325999999998 × 6371000     		dl = 9067.58945999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38155513--0.38297839) × R
    0.00142325999999998 × 6371000     		dr = 9067.58945999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39423306-0.39576704) × cos(-0.38155513) × R
    0.00153397999999999 × 0.928086683304752 × 6371000     		do = 9070.17870101399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39423306-0.39576704) × cos(-0.38297839) × R
    0.00153397999999999 × 0.927555772393619 × 6371000     		du = 9064.99011580432m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38155513)-sin(-0.38297839))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.928086683304752-0.927555772393619)×R²
    abs(0.39576704-0.39423306)×0.000530910911132443×R²
    0.00153397999999999×0.000530910911132443×6371000²
    0.00153397999999999×0.000530910911132443×40589641000000     		ar = 82221146.6887535m²