Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2306 / 2306
↖ ↑ ↗
← S 22.105999°
E 22.675781°		 ← 9 054.57 m → S 22.105999°
E 22.763672°		 →
↑
9 051.98 m
↓
↑
9 051.98 m
↓
S 22.187405°
E 22.675781°		 ← 9 049.33 m →
81 938 085 m²		 S 22.187405°
E 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5631103515625 y=0.5631103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5631103515625 × 212)
    floor (0.5631103515625 × 4096)
    floor (2306.5)     		tx = 2306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5631103515625 × 212)
    floor (0.5631103515625 × 4096)
    floor (2306.5)     		ty = 2306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2306 / 2306 ti = "12/2306/2306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2306/2306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2306 ÷ 212
    2306 ÷ 4096     		x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2306 ÷ 212
    2306 ÷ 4096     		y = 0.56298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    -0.1259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.395767043263184
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.395767043263184))-π/2
    2×atan(0.673163495644193)-π/2
    2×0.592486931653908-π/2
    1.18497386330782-1.57079632675     		φ = -0.38582246
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38582246 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.105999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2306 KachelY 2306 0.39576704 -0.38582246 22.675781 -22.105999
    Oben rechts KachelX + 1 2307 KachelY 2306 0.39730102 -0.38582246 22.763672 -22.105999
    Unten links KachelX 2306 KachelY + 1 2307 0.39576704 -0.38724327 22.675781 -22.187405
    Unten rechts KachelX + 1 2307 KachelY + 1 2307 0.39730102 -0.38724327 22.763672 -22.187405
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38582246--0.38724327) × R
    0.00142080999999999 × 6371000     		dl = 9051.98050999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38582246--0.38724327) × R
    0.00142080999999999 × 6371000     		dr = 9051.98050999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39730102) × cos(-0.38582246) × R
    0.00153397999999999 × 0.926489236878441 × 6371000     		do = 9054.56687852739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39730102) × cos(-0.38724327) × R
    0.00153397999999999 × 0.925953620890592 × 6371000     		du = 9049.3323106661m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38582246)-sin(-0.38724327))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.926489236878441-0.925953620890592)×R²
    abs(0.39730102-0.39576704)×0.00053561598784968×R²
    0.00153397999999999×0.00053561598784968×6371000²
    0.00153397999999999×0.00053561598784968×40589641000000     		ar = 81938085.0918344m²