Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2306 / 258
↖ ↑ ↗
← N 82.653843°
E 22.675781°		 ← 1 249.61 m → N 82.653843°
E 22.763672°		 →
↑
1 250.56 m
↓
↑
1 250.56 m
↓
N 82.642596°
E 22.675781°		 ← 1 251.51 m →
1 563 906 m²		 N 82.642596°
E 22.763672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2306 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 258 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5631103515625 y=0.0631103515625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5631103515625 × 212)
    floor (0.5631103515625 × 4096)
    floor (2306.5)     		tx = 2306
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0631103515625 × 212)
    floor (0.0631103515625 × 4096)
    floor (258.5)     		ty = 258
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2306 / 258 ti = "12/2306/258"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2306/258.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2306 ÷ 212
    2306 ÷ 4096     		x = 0.56298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 258 ÷ 212
    258 ÷ 4096     		y = 0.06298828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56298828125 × 2 - 1) × π
    0.1259765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.39576704
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.06298828125 × 2 - 1) × π
    0.8740234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.74582561023682
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39576704} λ = 0.39576704}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.74582561023682))-π/2
    2×atan(15.5774695429108)-π/2
    2×1.50668901424791-π/2
    3.01337802849583-1.57079632675     		φ = 1.44258170
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39576704} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.675781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.44258170 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 82.653843°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2306 KachelY 258 0.39576704 1.44258170 22.675781 82.653843
    Oben rechts KachelX + 1 2307 KachelY 258 0.39730102 1.44258170 22.763672 82.653843
    Unten links KachelX 2306 KachelY + 1 259 0.39576704 1.44238541 22.675781 82.642596
    Unten rechts KachelX + 1 2307 KachelY + 1 259 0.39730102 1.44238541 22.763672 82.642596
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.44258170-1.44238541) × R
    0.000196290000000099 × 6371000     		dl = 1250.56359000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.44258170-1.44238541) × R
    0.000196290000000099 × 6371000     		dr = 1250.56359000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39576704-0.39730102) × cos(1.44258170) × R
    0.00153397999999999 × 0.127863628915862 × 6371000     		do = 1249.60952946481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39576704-0.39730102) × cos(1.44238541) × R
    0.00153397999999999 × 0.128058305255627 × 6371000     		du = 1251.51209872078m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.44258170)-sin(1.44238541))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127863628915862-0.128058305255627)×R²
    abs(0.39730102-0.39576704)×0.000194676339765193×R²
    0.00153397999999999×0.000194676339765193×6371000²
    0.00153397999999999×0.000194676339765193×40589641000000     		ar = 1563905.82620666m²