Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2308 / 2308
↖ ↑ ↗
← S 22.268764°
E 22.851562°		 ← 9 044.14 m → S 22.268764°
E 22.939453°		 →
↑
9 041.47 m
↓
↑
9 041.47 m
↓
S 22.350076°
E 22.851562°		 ← 9 038.88 m →
81 748 531 m²		 S 22.350076°
E 22.939453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2308 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2308 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5635986328125 y=0.5635986328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5635986328125 × 212)
    floor (0.5635986328125 × 4096)
    floor (2308.5)     		tx = 2308
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5635986328125 × 212)
    floor (0.5635986328125 × 4096)
    floor (2308.5)     		ty = 2308
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2308 / 2308 ti = "12/2308/2308"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2308/2308.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2308 ÷ 212
    2308 ÷ 4096     		x = 0.5634765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2308 ÷ 212
    2308 ÷ 4096     		y = 0.5634765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    0.126953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.39883500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5634765625 × 2 - 1) × π
    -0.126953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.398835004838867
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.39883500} λ = 0.39883500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.398835004838867))-π/2
    2×atan(0.671101420706162)-π/2
    2×0.591066536986947-π/2
    1.18213307397389-1.57079632675     		φ = -0.38866325
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.39883500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 22.851562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.38866325 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -22.268764°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2308 KachelY 2308 0.39883500 -0.38866325 22.851562 -22.268764
    Oben rechts KachelX + 1 2309 KachelY 2308 0.40036899 -0.38866325 22.939453 -22.268764
    Unten links KachelX 2308 KachelY + 1 2309 0.39883500 -0.39008241 22.851562 -22.350076
    Unten rechts KachelX + 1 2309 KachelY + 1 2309 0.40036899 -0.39008241 22.939453 -22.350076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.38866325--0.39008241) × R
    0.00141915999999997 × 6371000     		dl = 9041.46835999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.38866325--0.39008241) × R
    0.00141915999999997 × 6371000     		dr = 9041.46835999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.39883500-0.40036899) × cos(-0.38866325) × R
    0.00153398999999999 × 0.925416450209737 × 6371000     		do = 9044.14150709295m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.39883500-0.40036899) × cos(-0.39008241) × R
    0.00153398999999999 × 0.924877725389341 × 6371000     		du = 9038.87652233075m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.38866325)-sin(-0.39008241))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.925416450209737-0.924877725389341)×R²
    abs(0.40036899-0.39883500)×0.000538724820396075×R²
    0.00153398999999999×0.000538724820396075×6371000²
    0.00153398999999999×0.000538724820396075×40589641000000     		ar = 81748531.403402m²