Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 232 / 360
↖ ↑ ↗
← S 58.813742°
W 16.875000°		 ← 40.485 km → S 58.813742°
W 16.171875°		 →
↑
40.273 km
↓
↑
40.273 km
↓
S 59.175928°
W 16.875000°		 ← 40.062 km →
1 621.96 km²		 S 59.175928°
W 16.171875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 232 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 360 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4541015625 y=0.7041015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4541015625 × 29)
    floor (0.4541015625 × 512)
    floor (232.5)     		tx = 232
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7041015625 × 29)
    floor (0.7041015625 × 512)
    floor (360.5)     		ty = 360
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 232 / 360 ti = "9/232/360"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/232/360.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 232 ÷ 29
    232 ÷ 512     		x = 0.453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 360 ÷ 29
    360 ÷ 512     		y = 0.703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.453125 × 2 - 1) × π
    -0.09375 × 3.1415926535     		Λ = -0.29452431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.703125 × 2 - 1) × π
    -0.40625 × 3.1415926535     		Φ = -1.27627201548437
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29452431} λ = -0.29452431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.27627201548437))-π/2
    2×atan(0.279075753670116)-π/2
    2×0.272151444228573-π/2
    0.544302888457146-1.57079632675     		φ = -1.02649344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29452431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.875000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.02649344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -58.813742°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 232 KachelY 360 -0.29452431 -1.02649344 -16.875000 -58.813742
    Oben rechts KachelX + 1 233 KachelY 360 -0.28225246 -1.02649344 -16.171875 -58.813742
    Unten links KachelX 232 KachelY + 1 361 -0.29452431 -1.03281479 -16.875000 -59.175928
    Unten rechts KachelX + 1 233 KachelY + 1 361 -0.28225246 -1.03281479 -16.171875 -59.175928
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.02649344--1.03281479) × R
    0.00632134999999989 × 6371000     		dl = 40273.3208499993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.02649344--1.03281479) × R
    0.00632134999999989 × 6371000     		dr = 40273.3208499993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29452431--0.28225246) × cos(-1.02649344) × R
    0.01227185 × 0.517821844059361 × 6371000     		do = 40485.3604530137m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29452431--0.28225246) × cos(-1.03281479) × R
    0.01227185 × 0.512403692070203 × 6371000     		du = 40061.7478943957m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.02649344)-sin(-1.03281479))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.517821844059361-0.512403692070203)×R²
    abs(-0.28225246--0.29452431)×0.0054181519891584×R²
    0.01227185×0.0054181519891584×6371000²
    0.01227185×0.0054181519891584×40589641000000     		ar = 1621955170.04955m²