Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2321 / 2321
↖ ↑ ↗
← S 23.322080°
E 23.994141°		 ← 8 974.47 m → S 23.322080°
E 24.082031°		 →
↑
8 971.77 m
↓
↑
8 971.77 m
↓
S 23.402765°
E 23.994141°		 ← 8 969.02 m →
80 492 443 m²		 S 23.402765°
E 24.082031°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2321 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2321 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5667724609375 y=0.5667724609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5667724609375 × 212)
    floor (0.5667724609375 × 4096)
    floor (2321.5)     		tx = 2321
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5667724609375 × 212)
    floor (0.5667724609375 × 4096)
    floor (2321.5)     		ty = 2321
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2321 / 2321 ti = "12/2321/2321"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2321/2321.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2321 ÷ 212
    2321 ÷ 4096     		x = 0.566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2321 ÷ 212
    2321 ÷ 4096     		y = 0.566650390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566650390625 × 2 - 1) × π
    0.13330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41877676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.566650390625 × 2 - 1) × π
    -0.13330078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.418776755080811
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41877676} λ = 0.41877676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.418776755080811))-π/2
    2×atan(0.657851040778387)-π/2
    2×0.581874621096889-π/2
    1.16374924219378-1.57079632675     		φ = -0.40704708
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41877676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.40704708 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.322080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2321 KachelY 2321 0.41877676 -0.40704708 23.994141 -23.322080
    Oben rechts KachelX + 1 2322 KachelY 2321 0.42031074 -0.40704708 24.082031 -23.322080
    Unten links KachelX 2321 KachelY + 1 2322 0.41877676 -0.40845530 23.994141 -23.402765
    Unten rechts KachelX + 1 2322 KachelY + 1 2322 0.42031074 -0.40845530 24.082031 -23.402765
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.40704708--0.40845530) × R
    0.00140822000000002 × 6371000     		dl = 8971.7696200001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.40704708--0.40845530) × R
    0.00140822000000002 × 6371000     		dr = 8971.7696200001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41877676-0.42031074) × cos(-0.40704708) × R
    0.00153397999999999 × 0.918293884039723 × 6371000     		do = 8974.47380521623m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41877676-0.42031074) × cos(-0.40845530) × R
    0.00153397999999999 × 0.917735460230772 × 6371000     		du = 8969.01633682541m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.40704708)-sin(-0.40845530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.918293884039723-0.917735460230772)×R²
    abs(0.42031074-0.41877676)×0.000558423808950881×R²
    0.00153397999999999×0.000558423808950881×6371000²
    0.00153397999999999×0.000558423808950881×40589641000000     		ar = 80492443.1685079m²