Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 234 / 106
↖ ↑ ↗
← N 29.535229°
E149.062500°		 ← 136.048 km → N 29.535229°
E150.468750°		 →
↑
136.864 km
↓
↑
136.864 km
↓
N 28.304381°
E149.062500°		 ← 137.673 km →
18 732 km²		 N 28.304381°
E150.468750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 234 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.916015625 y=0.416015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.916015625 × 28)
    floor (0.916015625 × 256)
    floor (234.5)     		tx = 234
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.416015625 × 28)
    floor (0.416015625 × 256)
    floor (106.5)     		ty = 106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 234 / 106 ti = "8/234/106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/234/106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 234 ÷ 28
    234 ÷ 256     		x = 0.9140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 106 ÷ 28
    106 ÷ 256     		y = 0.4140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9140625 × 2 - 1) × π
    0.828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.60163142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4140625 × 2 - 1) × π
    0.171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.539961237320313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.60163142} λ = 2.60163142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.539961237320313))-π/2
    2×atan(1.71594034644969)-π/2
    2×1.04314166399364-π/2
    2.08628332798729-1.57079632675     		φ = 0.51548700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.60163142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 149.062500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51548700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.535229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 234 KachelY 106 2.60163142 0.51548700 149.062500 29.535229
    Oben rechts KachelX + 1 235 KachelY 106 2.62617511 0.51548700 150.468750 29.535229
    Unten links KachelX 234 KachelY + 1 107 2.60163142 0.49400464 149.062500 28.304381
    Unten rechts KachelX + 1 235 KachelY + 1 107 2.62617511 0.49400464 150.468750 28.304381
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51548700-0.49400464) × R
    0.02148236 × 6371000     		dl = 136864.11556m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51548700-0.49400464) × R
    0.02148236 × 6371000     		dr = 136864.11556m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.60163142-2.62617511) × cos(0.51548700) × R
    0.0245436900000002 × 0.870052754632841 × 6371000     		do = 136048.277749763m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.60163142-2.62617511) × cos(0.49400464) × R
    0.0245436900000002 × 0.880441101351802 × 6371000     		du = 137672.681180769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51548700)-sin(0.49400464))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.870052754632841-0.880441101351802)×R²
    abs(2.62617511-2.60163142)×0.0103883467189606×R²
    0.0245436900000002×0.0103883467189606×6371000²
    0.0245436900000002×0.0103883467189606×40589641000000     		ar = 18732008871.6993m²