Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 23552 / 27648
↖ ↑ ↗
← S 76.840817°
E 78.750000°		 ← 278.10 m → S 76.840817°
E 78.760986°		 →
↑
278.03 m
↓
↑
278.03 m
↓
S 76.843317°
E 78.750000°		 ← 278.05 m →
77 313 m²		 S 76.843317°
E 78.760986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.718765258789062 y=0.843765258789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.718765258789062 × 215)
    floor (0.718765258789062 × 32768)
    floor (23552.5)     		tx = 23552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.843765258789062 × 215)
    floor (0.843765258789062 × 32768)
    floor (27648.5)     		ty = 27648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 23552 / 27648 ti = "15/23552/27648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/23552/27648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23552 ÷ 215
    23552 ÷ 32768     		x = 0.71875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27648 ÷ 215
    27648 ÷ 32768     		y = 0.84375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71875 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Λ = 1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.84375 × 2 - 1) × π
    -0.6875 × 3.1415926535     		Φ = -2.15984494928125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37444679} λ = 1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.15984494928125))-π/2
    2×atan(0.115343003667291)-π/2
    2×0.114835540228313-π/2
    0.229671080456626-1.57079632675     		φ = -1.34112525
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.34112525 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -76.840817°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23552 KachelY 27648 1.37444679 -1.34112525 78.750000 -76.840817
    Oben rechts KachelX + 1 23553 KachelY 27648 1.37463853 -1.34112525 78.760986 -76.840817
    Unten links KachelX 23552 KachelY + 1 27649 1.37444679 -1.34116889 78.750000 -76.843317
    Unten rechts KachelX + 1 23553 KachelY + 1 27649 1.37463853 -1.34116889 78.760986 -76.843317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.34112525--1.34116889) × R
    4.36400000001225e-05 × 6371000     		dl = 278.03044000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.34112525--1.34116889) × R
    4.36400000001225e-05 × 6371000     		dr = 278.03044000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37444679-1.37463853) × cos(-1.34112525) × R
    0.000191739999999996 × 0.227657249737119 × 6371000     		do = 278.100527782529m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37444679-1.37463853) × cos(-1.34116889) × R
    0.000191739999999996 × 0.227614755448735 × 6371000     		du = 278.04861779925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.34112525)-sin(-1.34116889))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.227657249737119-0.227614755448735)×R²
    abs(1.37463853-1.37444679)×4.24942883839041e-05×R²
    0.000191739999999996×4.24942883839041e-05×6371000²
    0.000191739999999996×4.24942883839041e-05×40589641000000     		ar = 77313.1958378981m²