Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 23552 / 3072
↖ ↑ ↗
← N 81.093214°
E 78.750000°		 ← 189.13 m → N 81.093214°
E 78.760986°		 →
↑
189.15 m
↓
↑
189.15 m
↓
N 81.091513°
E 78.750000°		 ← 189.17 m →
35 779 m²		 N 81.091513°
E 78.760986°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3072 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.718765258789062 y=0.0937652587890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.718765258789062 × 215)
    floor (0.718765258789062 × 32768)
    floor (23552.5)     		tx = 23552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0937652587890625 × 215)
    floor (0.0937652587890625 × 32768)
    floor (3072.5)     		ty = 3072
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 23552 / 3072 ti = "15/23552/3072"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/23552/3072.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23552 ÷ 215
    23552 ÷ 32768     		x = 0.71875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3072 ÷ 215
    3072 ÷ 32768     		y = 0.09375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71875 × 2 - 1) × π
    0.4375 × 3.1415926535     		Λ = 1.37444679
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09375 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Φ = 2.55254403096875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37444679} λ = 1.37444679}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.55254403096875))-π/2
    2×atan(12.8397269308608)-π/2
    2×1.49306995476775-π/2
    2.98613990953549-1.57079632675     		φ = 1.41534358
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37444679} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41534358 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.093214°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23552 KachelY 3072 1.37444679 1.41534358 78.750000 81.093214
    Oben rechts KachelX + 1 23553 KachelY 3072 1.37463853 1.41534358 78.760986 81.093214
    Unten links KachelX 23552 KachelY + 1 3073 1.37444679 1.41531389 78.750000 81.091513
    Unten rechts KachelX + 1 23553 KachelY + 1 3073 1.37463853 1.41531389 78.760986 81.091513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41534358-1.41531389) × R
    2.96900000000822e-05 × 6371000     		dl = 189.154990000523m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41534358-1.41531389) × R
    2.96900000000822e-05 × 6371000     		dr = 189.154990000523m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37444679-1.37463853) × cos(1.41534358) × R
    0.000191739999999996 × 0.154827402507351 × 6371000     		do = 189.13336782471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37444679-1.37463853) × cos(1.41531389) × R
    0.000191739999999996 × 0.154856734423263 × 6371000     		du = 189.16919897573m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41534358)-sin(1.41531389))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.154827402507351-0.154856734423263)×R²
    abs(1.37463853-1.37444679)×2.93319159128391e-05×R²
    0.000191739999999996×2.93319159128391e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.93319159128391e-05×40589641000000     		ar = 35778.9091228586m²