Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23552 / 39937
↖ ↑ ↗
← S 36.602299°
W 50.625000°		 ← 490.34 m → S 36.602299°
W 50.619507°		 →
↑
490.38 m
↓
↑
490.38 m
↓
S 36.606709°
W 50.625000°		 ← 490.31 m →
240 442 m²		 S 36.606709°
W 50.619507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23552 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39937 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359382629394531 y=0.609397888183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359382629394531 × 216)
    floor (0.359382629394531 × 65536)
    floor (23552.5)     		tx = 23552
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.609397888183594 × 216)
    floor (0.609397888183594 × 65536)
    floor (39937.5)     		ty = 39937
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23552 / 39937 ti = "16/23552/39937"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23552/39937.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23552 ÷ 216
    23552 ÷ 65536     		x = 0.359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39937 ÷ 216
    39937 ÷ 65536     		y = 0.609390258789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.359375 × 2 - 1) × π
    -0.28125 × 3.1415926535     		Λ = -0.88357293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.609390258789062 × 2 - 1) × π
    -0.218780517578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.687319266752365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88357293} λ = -0.88357293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687319266752365))-π/2
    2×atan(0.502922464567909)-π/2
    2×0.465982846545625-π/2
    0.931965693091249-1.57079632675     		φ = -0.63883063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88357293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.625000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63883063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.602299°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23552 KachelY 39937 -0.88357293 -0.63883063 -50.625000 -36.602299
    Oben rechts KachelX + 1 23553 KachelY 39937 -0.88347706 -0.63883063 -50.619507 -36.602299
    Unten links KachelX 23552 KachelY + 1 39938 -0.88357293 -0.63890760 -50.625000 -36.606709
    Unten rechts KachelX + 1 23553 KachelY + 1 39938 -0.88347706 -0.63890760 -50.619507 -36.606709
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63883063--0.63890760) × R
    7.6970000000065e-05 × 6371000     		dl = 490.375870000414m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63883063--0.63890760) × R
    7.6970000000065e-05 × 6371000     		dr = 490.375870000414m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88357293--0.88347706) × cos(-0.63883063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.80279355175509 × 6371000     		do = 490.33648324686m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88357293--0.88347706) × cos(-0.63890760) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.802747655469156 × 6371000     		du = 490.308450356723m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63883063)-sin(-0.63890760))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.80279355175509-0.802747655469156)×R²
    abs(-0.88347706--0.88357293)×4.58962859338774e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.58962859338774e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.58962859338774e-05×40589641000000     		ar = 240442.3063571m²