Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 23560 / 39944
↖ ↑ ↗
← S 36.633162°
W 50.581054°		 ← 490.14 m → S 36.633162°
W 50.575562°		 →
↑
490.18 m
↓
↑
490.18 m
↓
S 36.637570°
W 50.581054°		 ← 490.11 m →
240 252 m²		 S 36.637570°
W 50.575562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23560 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359504699707031 y=0.609504699707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359504699707031 × 216)
    floor (0.359504699707031 × 65536)
    floor (23560.5)     		tx = 23560
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.609504699707031 × 216)
    floor (0.609504699707031 × 65536)
    floor (39944.5)     		ty = 39944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23560 / 39944 ti = "16/23560/39944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23560/39944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23560 ÷ 216
    23560 ÷ 65536     		x = 0.3594970703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39944 ÷ 216
    39944 ÷ 65536     		y = 0.6094970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3594970703125 × 2 - 1) × π
    -0.281005859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.88280594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6094970703125 × 2 - 1) × π
    -0.218994140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.687990383347046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88280594} λ = -0.88280594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.687990383347046))-π/2
    2×atan(0.502585058188273)-π/2
    2×0.465713516412953-π/2
    0.931427032825905-1.57079632675     		φ = -0.63936929
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88280594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.581054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.63936929 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.633162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23560 KachelY 39944 -0.88280594 -0.63936929 -50.581054 -36.633162
    Oben rechts KachelX + 1 23561 KachelY 39944 -0.88271007 -0.63936929 -50.575562 -36.633162
    Unten links KachelX 23560 KachelY + 1 39945 -0.88280594 -0.63944623 -50.581054 -36.637570
    Unten rechts KachelX + 1 23561 KachelY + 1 39945 -0.88271007 -0.63944623 -50.575562 -36.637570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.63936929--0.63944623) × R
    7.69400000000253e-05 × 6371000     		dl = 490.184740000161m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.63936929--0.63944623) × R
    7.69400000000253e-05 × 6371000     		dr = 490.184740000161m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88280594--0.88271007) × cos(-0.63936929) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.802472255461265 × 6371000     		do = 490.140239400046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88280594--0.88271007) × cos(-0.63944623) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.802426343801127 × 6371000     		du = 490.112197119533m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.63936929)-sin(-0.63944623))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.802472255461265-0.802426343801127)×R²
    abs(-0.88271007--0.88280594)×4.59116601373433e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.59116601373433e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.59116601373433e-05×40589641000000     		ar = 240252.392983401m²