Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 23568 / 3088
↖ ↑ ↗
← N 81.065957°
E 78.925781°		 ← 189.72 m → N 81.065957°
E 78.936768°		 →
↑
189.73 m
↓
↑
189.73 m
↓
N 81.064251°
E 78.925781°		 ← 189.75 m →
35 998 m²		 N 81.064251°
E 78.936768°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23568 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.719253540039062 y=0.0942535400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.719253540039062 × 215)
    floor (0.719253540039062 × 32768)
    floor (23568.5)     		tx = 23568
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0942535400390625 × 215)
    floor (0.0942535400390625 × 32768)
    floor (3088.5)     		ty = 3088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 23568 / 3088 ti = "15/23568/3088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/23568/3088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23568 ÷ 215
    23568 ÷ 32768     		x = 0.71923828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3088 ÷ 215
    3088 ÷ 32768     		y = 0.09423828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.71923828125 × 2 - 1) × π
    0.4384765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.37751475
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.09423828125 × 2 - 1) × π
    0.8115234375 × 3.1415926535     		Φ = 2.54947606939307
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.37751475} λ = 1.37751475}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54947606939307))-π/2
    2×atan(12.8003955064942)-π/2
    2×1.49283209222535-π/2
    2.98566418445071-1.57079632675     		φ = 1.41486786
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.37751475} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 78.925781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41486786 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.065957°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23568 KachelY 3088 1.37751475 1.41486786 78.925781 81.065957
    Oben rechts KachelX + 1 23569 KachelY 3088 1.37770650 1.41486786 78.936768 81.065957
    Unten links KachelX 23568 KachelY + 1 3089 1.37751475 1.41483808 78.925781 81.064251
    Unten rechts KachelX + 1 23569 KachelY + 1 3089 1.37770650 1.41483808 78.936768 81.064251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41486786-1.41483808) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dl = 189.728379999868m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41486786-1.41483808) × R
    2.97799999999793e-05 × 6371000     		dr = 189.728379999868m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.37751475-1.37770650) × cos(1.41486786) × R
    0.000191749999999935 × 0.155297368516921 × 6371000     		do = 189.717360801921m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.37751475-1.37770650) × cos(1.41483808) × R
    0.000191749999999935 × 0.155326787150189 × 6371000     		du = 189.753299759003m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41486786)-sin(1.41483808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155297368516921-0.155326787150189)×R²
    abs(1.37770650-1.37751475)×2.94186332682467e-05×R²
    0.000191749999999935×2.94186332682467e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.94186332682467e-05×40589641000000     		ar = 35998.1768459333m²