Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 23584 / 3104
↖ ↑ ↗
← N 81.038617°
E 79.101563°		 ← 190.29 m → N 81.038617°
E 79.112549°		 →
↑
190.30 m
↓
↑
190.30 m
↓
N 81.036906°
E 79.101563°		 ← 190.33 m →
36 217 m²		 N 81.036906°
E 79.112549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23584 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3104 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.719741821289062 y=0.0947418212890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.719741821289062 × 215)
    floor (0.719741821289062 × 32768)
    floor (23584.5)     		tx = 23584
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0947418212890625 × 215)
    floor (0.0947418212890625 × 32768)
    floor (3104.5)     		ty = 3104
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 23584 / 3104 ti = "15/23584/3104"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/23584/3104.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23584 ÷ 215
    23584 ÷ 32768     		x = 0.7197265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3104 ÷ 215
    3104 ÷ 32768     		y = 0.0947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7197265625 × 2 - 1) × π
    0.439453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.38058271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0947265625 × 2 - 1) × π
    0.810546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.54640810781738
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.38058271} λ = 1.38058271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.54640810781738))-π/2
    2×atan(12.7611845645141)-π/2
    2×1.49259350768986-π/2
    2.98518701537972-1.57079632675     		φ = 1.41439069
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.38058271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 79.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41439069 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.038617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23584 KachelY 3104 1.38058271 1.41439069 79.101563 81.038617
    Oben rechts KachelX + 1 23585 KachelY 3104 1.38077446 1.41439069 79.112549 81.038617
    Unten links KachelX 23584 KachelY + 1 3105 1.38058271 1.41436082 79.101563 81.036906
    Unten rechts KachelX + 1 23585 KachelY + 1 3105 1.38077446 1.41436082 79.112549 81.036906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41439069-1.41436082) × R
    2.98700000000984e-05 × 6371000     		dl = 190.301770000627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41439069-1.41436082) × R
    2.98700000000984e-05 × 6371000     		dr = 190.301770000627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.38058271-1.38077446) × cos(1.41439069) × R
    0.000191749999999935 × 0.155768731682034 × 6371000     		do = 190.293196545427m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.38058271-1.38077446) × cos(1.41436082) × R
    0.000191749999999935 × 0.155798237005951 × 6371000     		du = 190.329241407208m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41439069)-sin(1.41436082))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.155768731682034-0.155798237005951)×R²
    abs(1.38077446-1.38058271)×2.95053239171561e-05×R²
    0.000191749999999935×2.95053239171561e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.95053239171561e-05×40589641000000     		ar = 36216.5618249939m²