Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 23616 / 40000
↖ ↑ ↗
← S 36.879621°
W 50.273437°		 ← 488.57 m → S 36.879621°
W 50.267945°		 →
↑
488.53 m
↓
↑
488.53 m
↓
S 36.884014°
W 50.273437°		 ← 488.54 m →
238 672 m²		 S 36.884014°
W 50.267945°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40000 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.360359191894531 y=0.610359191894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.360359191894531 × 216)
    floor (0.360359191894531 × 65536)
    floor (23616.5)     		tx = 23616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.610359191894531 × 216)
    floor (0.610359191894531 × 65536)
    floor (40000.5)     		ty = 40000
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 23616 / 40000 ti = "16/23616/40000"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/23616/40000.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23616 ÷ 216
    23616 ÷ 65536     		x = 0.3603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40000 ÷ 216
    40000 ÷ 65536     		y = 0.6103515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3603515625 × 2 - 1) × π
    -0.279296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.87743701
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6103515625 × 2 - 1) × π
    -0.220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.693359316104492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.87743701} λ = -0.87743701}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.693359316104492))-π/2
    2×atan(0.499893943477303)-π/2
    2×0.463562760183344-π/2
    0.927125520366688-1.57079632675     		φ = -0.64367081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.87743701} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.273437°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.64367081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -36.879621°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23616 KachelY 40000 -0.87743701 -0.64367081 -50.273437 -36.879621
    Oben rechts KachelX + 1 23617 KachelY 40000 -0.87734114 -0.64367081 -50.267945 -36.879621
    Unten links KachelX 23616 KachelY + 1 40001 -0.87743701 -0.64374749 -50.273437 -36.884014
    Unten rechts KachelX + 1 23617 KachelY + 1 40001 -0.87734114 -0.64374749 -50.267945 -36.884014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.64367081--0.64374749) × R
    7.66799999999401e-05 × 6371000     		dl = 488.528279999619m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.64367081--0.64374749) × R
    7.66799999999401e-05 × 6371000     		dr = 488.528279999619m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.87743701--0.87734114) × cos(-0.64367081) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.79989816775706 × 6371000     		do = 488.56801811141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.87743701--0.87734114) × cos(-0.64374749) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.799852146995987 × 6371000     		du = 488.53990919338m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.64367081)-sin(-0.64374749))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.79989816775706-0.799852146995987)×R²
    abs(-0.87734114--0.87743701)×4.60207610727403e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.60207610727403e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.60207610727403e-05×40589641000000     		ar = 238672.427667133m²