Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 23616 / 5184
↖ ↑ ↗
← N 76.679785°
E 79.453125°		 ← 281.46 m → N 76.679785°
E 79.464111°		 →
↑
281.53 m
↓
↑
281.53 m
↓
N 76.677253°
E 79.453125°		 ← 281.51 m →
79 247 m²		 N 76.677253°
E 79.464111°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 23616 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5184 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.720718383789062 y=0.158218383789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.720718383789062 × 215)
    floor (0.720718383789062 × 32768)
    floor (23616.5)     		tx = 23616
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158218383789062 × 215)
    floor (0.158218383789062 × 32768)
    floor (5184.5)     		ty = 5184
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 23616 / 5184 ti = "15/23616/5184"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/23616/5184.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 23616 ÷ 215
    23616 ÷ 32768     		x = 0.720703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5184 ÷ 215
    5184 ÷ 32768     		y = 0.158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.720703125 × 2 - 1) × π
    0.44140625 × 3.1415926535     		Λ = 1.38671863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158203125 × 2 - 1) × π
    0.68359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.14757310297852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.38671863} λ = 1.38671863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.14757310297852))-π/2
    2×atan(8.56404909113894)-π/2
    2×1.45455552153051-π/2
    2.90911104306101-1.57079632675     		φ = 1.33831472
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.38671863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 79.453125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33831472 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.679785°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 23616 KachelY 5184 1.38671863 1.33831472 79.453125 76.679785
    Oben rechts KachelX + 1 23617 KachelY 5184 1.38691038 1.33831472 79.464111 76.679785
    Unten links KachelX 23616 KachelY + 1 5185 1.38671863 1.33827053 79.453125 76.677253
    Unten rechts KachelX + 1 23617 KachelY + 1 5185 1.38691038 1.33827053 79.464111 76.677253
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33831472-1.33827053) × R
    4.41900000001105e-05 × 6371000     		dl = 281.534490000704m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33831472-1.33827053) × R
    4.41900000001105e-05 × 6371000     		dr = 281.534490000704m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.38671863-1.38691038) × cos(1.33831472) × R
    0.000191749999999935 × 0.230393076212091 × 6371000     		do = 281.457224828836m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.38671863-1.38691038) × cos(1.33827053) × R
    0.000191749999999935 × 0.230436077172143 × 6371000     		du = 281.509756489424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33831472)-sin(1.33827053))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230393076212091-0.230436077172143)×R²
    abs(1.38691038-1.38671863)×4.30009600526082e-05×R²
    0.000191749999999935×4.30009600526082e-05×6371000²
    0.000191749999999935×4.30009600526082e-05×40589641000000     		ar = 79247.310999085m²