Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2368 / 2368
↖ ↑ ↗
← S 27.059126°
E 28.125000°		 ← 8 703.21 m → S 27.059126°
E 28.212890°		 →
↑
8 700.17 m
↓
↑
8 700.17 m
↓
S 27.137368°
E 28.125000°		 ← 8 697.13 m →
75 693 021 m²		 S 27.137368°
E 28.212890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2368 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2368 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5782470703125 y=0.5782470703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5782470703125 × 212)
    floor (0.5782470703125 × 4096)
    floor (2368.5)     		tx = 2368
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5782470703125 × 212)
    floor (0.5782470703125 × 4096)
    floor (2368.5)     		ty = 2368
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2368 / 2368 ti = "12/2368/2368"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2368/2368.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2368 ÷ 212
    2368 ÷ 4096     		x = 0.578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2368 ÷ 212
    2368 ÷ 4096     		y = 0.578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.578125 × 2 - 1) × π
    0.15625 × 3.1415926535     		Λ = 0.49087385
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.578125 × 2 - 1) × π
    -0.15625 × 3.1415926535     		Φ = -0.490873852109375
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.49087385} λ = 0.49087385}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.490873852109375))-π/2
    2×atan(0.612091283155602)-π/2
    2×0.549262744579385-π/2
    1.09852548915877-1.57079632675     		φ = -0.47227084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.49087385} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 28.125000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.47227084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.059126°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2368 KachelY 2368 0.49087385 -0.47227084 28.125000 -27.059126
    Oben rechts KachelX + 1 2369 KachelY 2368 0.49240783 -0.47227084 28.212890 -27.059126
    Unten links KachelX 2368 KachelY + 1 2369 0.49087385 -0.47363643 28.125000 -27.137368
    Unten rechts KachelX + 1 2369 KachelY + 1 2369 0.49240783 -0.47363643 28.212890 -27.137368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.47227084--0.47363643) × R
    0.00136558999999997 × 6371000     		dl = 8700.17388999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.47227084--0.47363643) × R
    0.00136558999999997 × 6371000     		dr = 8700.17388999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.49087385-0.49240783) × cos(-0.47227084) × R
    0.00153397999999999 × 0.890537558006442 × 6371000     		do = 8703.21160338287m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.49087385-0.49240783) × cos(-0.47363643) × R
    0.00153397999999999 × 0.889915507675197 × 6371000     		du = 8697.13231384353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.47227084)-sin(-0.47363643))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.890537558006442-0.889915507675197)×R²
    abs(0.49240783-0.49087385)×0.000622050331245294×R²
    0.00153397999999999×0.000622050331245294×6371000²
    0.00153397999999999×0.000622050331245294×40589641000000     		ar = 75693020.6757586m²