Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
7 / 24 / 120
↖ ↑ ↗
← S 82.676285°
W112.500000°		 ← 39.866 km → S 82.676285°
W109.687500°		 →
↑
38.911 km
↓
↑
38.911 km
↓
S 83.026219°
W112.500000°		 ← 37.971 km →
1 514.35 km²		 S 83.026219°
W109.687500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 7 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 120 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.19140625 y=0.94140625 und der Vergrößerungsstufe zoom=7 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.19140625 × 27)
    floor (0.19140625 × 128)
    floor (24.5)     		tx = 24
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.94140625 × 27)
    floor (0.94140625 × 128)
    floor (120.5)     		ty = 120
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 7 / 24 / 120 ti = "7/24/120"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/7/24/120.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24 ÷ 27
    24 ÷ 128     		x = 0.1875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 120 ÷ 27
    120 ÷ 128     		y = 0.9375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1875 × 2 - 1) × π
    -0.625 × 3.1415926535     		Λ = -1.96349541
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9375 × 2 - 1) × π
    -0.875 × 3.1415926535     		Φ = -2.7488935718125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.96349541} λ = -1.96349541}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.7488935718125))-π/2
    2×atan(0.0639986319384598)-π/2
    2×0.0639114703077964-π/2
    0.127822940615593-1.57079632675     		φ = -1.44297339
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.96349541} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -112.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.44297339 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -82.676285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24 KachelY 120 -1.96349541 -1.44297339 -112.500000 -82.676285
    Oben rechts KachelX + 1 25 KachelY 120 -1.91440802 -1.44297339 -109.687500 -82.676285
    Unten links KachelX 24 KachelY + 1 121 -1.96349541 -1.44908088 -112.500000 -83.026219
    Unten rechts KachelX + 1 25 KachelY + 1 121 -1.91440802 -1.44908088 -109.687500 -83.026219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.44297339--1.44908088) × R
    0.00610748999999999 × 6371000     		dl = 38910.81879m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.44297339--1.44908088) × R
    0.00610748999999999 × 6371000     		dr = 38910.81879m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.96349541--1.91440802) × cos(-1.44297339) × R
    0.04908739 × 0.127475144203388 × 6371000     		do = 39866.0363189892m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.96349541--1.91440802) × cos(-1.44908088) × R
    0.04908739 × 0.121415140703967 × 6371000     		du = 37970.8565087536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.44297339)-sin(-1.44908088))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.127475144203388-0.121415140703967)×R²
    abs(-1.91440802--1.96349541)×0.00606000349942158×R²
    0.04908739×0.00606000349942158×6371000²
    0.04908739×0.00606000349942158×40589641000000     		ar = 1514353323.29727m²