Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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5 / 24 / 8
↖ ↑ ↗
← N 66.513260°
E 90.000000°		 ← 498.547 km → N 66.513260°
E101.250000°		 →
↑
545.618 km
↓
↑
545.618 km
↓
N 61.606397°
E 90.000000°		 ← 594.856 km →
298 473 km²		 N 61.606397°
E101.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 5 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.765625 y=0.265625 und der Vergrößerungsstufe zoom=5 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.765625 × 25)
    floor (0.765625 × 32)
    floor (24.5)     		tx = 24
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.265625 × 25)
    floor (0.265625 × 32)
    floor (8.5)     		ty = 8
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 5 / 24 / 8 ti = "5/24/8"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/5/24/8.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24 ÷ 25
    24 ÷ 32     		x = 0.75
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8 ÷ 25
    8 ÷ 32     		y = 0.25
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.75 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Λ = 1.57079633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.25 × 2 - 1) × π
    0.5 × 3.1415926535     		Φ = 1.57079632675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.57079633} λ = 1.57079633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.57079632675))-π/2
    2×atan(4.81047738074938)-π/2
    2×1.3658358588729-π/2
    2.73167171774581-1.57079632675     		φ = 1.16087539
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.57079633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 90.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16087539 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.513260°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24 KachelY 8 1.57079633 1.16087539 90.000000 66.513260
    Oben rechts KachelX + 1 25 KachelY 8 1.76714587 1.16087539 101.250000 66.513260
    Unten links KachelX 24 KachelY + 1 9 1.57079633 1.07523446 90.000000 61.606397
    Unten rechts KachelX + 1 25 KachelY + 1 9 1.76714587 1.07523446 101.250000 61.606397
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16087539-1.07523446) × R
    0.0856409300000001 × 6371000     		dl = 545618.36503m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16087539-1.07523446) × R
    0.0856409300000001 × 6371000     		dr = 545618.36503m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.57079633-1.76714587) × cos(1.16087539) × R
    0.19634954 × 0.398536816226928 × 6371000     		do = 498546.808355382m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.57079633-1.76714587) × cos(1.07523446) × R
    0.19634954 × 0.475526001461152 × 6371000     		du = 594855.884489891m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16087539)-sin(1.07523446))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.398536816226928-0.475526001461152)×R²
    abs(1.76714587-1.57079633)×0.0769891852342242×R²
    0.19634954×0.0769891852342242×6371000²
    0.19634954×0.0769891852342242×40589641000000     		ar = 298472742865.025m²