Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
6 / 24 / 8
↖ ↑ ↗
← N 79.171334°
W 45.000000°		 ← 117.509 km → N 79.171334°
W 39.375000°		 →
↑
123.354 km
↓
↑
123.354 km
↓
N 78.061989°
W 45.000000°		 ← 129.381 km →
15 227.9 km²		 N 78.061989°
W 39.375000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 6 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.3828125 y=0.1328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=6 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.3828125 × 26)
    floor (0.3828125 × 64)
    floor (24.5)     		tx = 24
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.1328125 × 26)
    floor (0.1328125 × 64)
    floor (8.5)     		ty = 8
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 6 / 24 / 8 ti = "6/24/8"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/6/24/8.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24 ÷ 26
    24 ÷ 64     		x = 0.375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8 ÷ 26
    8 ÷ 64     		y = 0.125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.375 × 2 - 1) × π
    -0.25 × 3.1415926535     		Λ = -0.78539816
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.125 × 2 - 1) × π
    0.75 × 3.1415926535     		Φ = 2.356194490125
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78539816} λ = -0.78539816}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.356194490125))-π/2
    2×atan(10.5507240734872)-π/2
    2×1.47629839473139-π/2
    2.95259678946279-1.57079632675     		φ = 1.38180046
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78539816} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.000000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38180046 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.171334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24 KachelY 8 -0.78539816 1.38180046 -45.000000 79.171334
    Oben rechts KachelX + 1 25 KachelY 8 -0.68722339 1.38180046 -39.375000 79.171334
    Unten links KachelX 24 KachelY + 1 9 -0.78539816 1.36243873 -45.000000 78.061989
    Unten rechts KachelX + 1 25 KachelY + 1 9 -0.68722339 1.36243873 -39.375000 78.061989
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38180046-1.36243873) × R
    0.01936173 × 6371000     		dl = 123353.58183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38180046-1.36243873) × R
    0.01936173 × 6371000     		dr = 123353.58183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78539816--0.68722339) × cos(1.38180046) × R
    0.09817477 × 0.187872736870527 × 6371000     		do = 117509.034962606m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78539816--0.68722339) × cos(1.36243873) × R
    0.09817477 × 0.206853298300232 × 6371000     		du = 129380.8344254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38180046)-sin(1.36243873))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.187872736870527-0.206853298300232)×R²
    abs(-0.68722339--0.78539816)×0.0189805614297053×R²
    0.09817477×0.0189805614297053×6371000²
    0.09817477×0.0189805614297053×40589641000000     		ar = 15227850569.9711m²