Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 240 / 112
↖ ↑ ↗
← N 21.943045°
E157.500000°		 ← 145.040 km → N 21.943045°
E158.906250°		 →
↑
145.694 km
↓
↑
145.694 km
↓
N 20.632784°
E157.500000°		 ← 146.338 km →
21 227 km²		 N 20.632784°
E158.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 112 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939453125 y=0.439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939453125 × 28)
    floor (0.939453125 × 256)
    floor (240.5)     		tx = 240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.439453125 × 28)
    floor (0.439453125 × 256)
    floor (112.5)     		ty = 112
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 240 / 112 ti = "8/240/112"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/240/112.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 240 ÷ 28
    240 ÷ 256     		x = 0.9375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 112 ÷ 28
    112 ÷ 256     		y = 0.4375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9375 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Λ = 2.74889357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4375 × 2 - 1) × π
    0.125 × 3.1415926535     		Φ = 0.3926990816875
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74889357} λ = 2.74889357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3926990816875))-π/2
    2×atan(1.48097267047329)-π/2
    2×0.976887359629009-π/2
    1.95377471925802-1.57079632675     		φ = 0.38297839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74889357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.38297839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.943045°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 240 KachelY 112 2.74889357 0.38297839 157.500000 21.943045
    Oben rechts KachelX + 1 241 KachelY 112 2.77343726 0.38297839 158.906250 21.943045
    Unten links KachelX 240 KachelY + 1 113 2.74889357 0.36011002 157.500000 20.632784
    Unten rechts KachelX + 1 241 KachelY + 1 113 2.77343726 0.36011002 158.906250 20.632784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.38297839-0.36011002) × R
    0.02286837 × 6371000     		dl = 145694.38527m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.38297839-0.36011002) × R
    0.02286837 × 6371000     		dr = 145694.38527m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74889357-2.77343726) × cos(0.38297839) × R
    0.0245436900000002 × 0.927555772393619 × 6371000     		do = 145039.90094745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74889357-2.77343726) × cos(0.36011002) × R
    0.0245436900000002 × 0.935858060802633 × 6371000     		du = 146338.111927662m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.38297839)-sin(0.36011002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.927555772393619-0.935858060802633)×R²
    abs(2.77343726-2.74889357)×0.00830228840901392×R²
    0.0245436900000002×0.00830228840901392×6371000²
    0.0245436900000002×0.00830228840901392×40589641000000     		ar = 21226995318.1865m²