Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
8 / 240 / 49
↖ ↑ ↗
← N 73.627789°
E157.500000°		 ← 44.076 km → N 73.627789°
E158.906250°		 →
↑
44.599 km
↓
↑
44.599 km
↓
N 73.226700°
E157.500000°		 ← 45.126 km →
1 989.17 km²		 N 73.226700°
E158.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 8 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 240 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.939453125 y=0.193359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=8 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.939453125 × 28)
    floor (0.939453125 × 256)
    floor (240.5)     		tx = 240
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.193359375 × 28)
    floor (0.193359375 × 256)
    floor (49.5)     		ty = 49
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 8 / 240 / 49 ti = "8/240/49"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/8/240/49.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 240 ÷ 28
    240 ÷ 256     		x = 0.9375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49 ÷ 28
    49 ÷ 256     		y = 0.19140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.9375 × 2 - 1) × π
    0.875 × 3.1415926535     		Λ = 2.74889357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.19140625 × 2 - 1) × π
    0.6171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.93895171583203
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.74889357} λ = 2.74889357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.93895171583203))-π/2
    2×atan(6.9514600443149)-π/2
    2×1.42792183109354-π/2
    2.85584366218708-1.57079632675     		φ = 1.28504734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.74889357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 157.500000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.28504734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.627789°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 240 KachelY 49 2.74889357 1.28504734 157.500000 73.627789
    Oben rechts KachelX + 1 241 KachelY 49 2.77343726 1.28504734 158.906250 73.627789
    Unten links KachelX 240 KachelY + 1 50 2.74889357 1.27804701 157.500000 73.226700
    Unten rechts KachelX + 1 241 KachelY + 1 50 2.77343726 1.27804701 158.906250 73.226700
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.28504734-1.27804701) × R
    0.00700032999999989 × 6371000     		dl = 44599.1024299993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.28504734-1.27804701) × R
    0.00700032999999989 × 6371000     		dr = 44599.1024299993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.74889357-2.77343726) × cos(1.28504734) × R
    0.0245436900000002 × 0.281876146271479 × 6371000     		do = 44076.3666740622m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.74889357-2.77343726) × cos(1.27804701) × R
    0.0245436900000002 × 0.288585657047466 × 6371000     		du = 45125.5184418786m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.28504734)-sin(1.27804701))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.281876146271479-0.288585657047466)×R²
    abs(2.77343726-2.74889357)×0.00670951077598747×R²
    0.0245436900000002×0.00670951077598747×6371000²
    0.0245436900000002×0.00670951077598747×40589641000000     		ar = 1989170128.83469m²