Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24063 / 40447
↖ ↑ ↗
← S 38.818311°
W 47.817993°		 ← 475.89 m → S 38.818311°
W 47.812500°		 →
↑
475.91 m
↓
↑
475.91 m
↓
S 38.822591°
W 47.817993°		 ← 475.86 m →
226 475 m²		 S 38.822591°
W 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40447 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367179870605469 y=0.617179870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367179870605469 × 216)
    floor (0.367179870605469 × 65536)
    floor (24063.5)     		tx = 24063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617179870605469 × 216)
    floor (0.617179870605469 × 65536)
    floor (40447.5)     		ty = 40447
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24063 / 40447 ti = "16/24063/40447"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24063/40447.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24063 ÷ 216
    24063 ÷ 65536     		x = 0.367172241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40447 ÷ 216
    40447 ÷ 65536     		y = 0.617172241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367172241210938 × 2 - 1) × π
    -0.265655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83458142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.617172241210938 × 2 - 1) × π
    -0.234344482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.736214904364822
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83458142} λ = -0.83458142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736214904364822))-π/2
    2×atan(0.478923259429824)-π/2
    2×0.446644493382854-π/2
    0.893288986765709-1.57079632675     		φ = -0.67750734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83458142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67750734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.818311°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24063 KachelY 40447 -0.83458142 -0.67750734 -47.817993 -38.818311
    Oben rechts KachelX + 1 24064 KachelY 40447 -0.83448555 -0.67750734 -47.812500 -38.818311
    Unten links KachelX 24063 KachelY + 1 40448 -0.83458142 -0.67758204 -47.817993 -38.822591
    Unten rechts KachelX + 1 24064 KachelY + 1 40448 -0.83448555 -0.67758204 -47.812500 -38.822591
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67750734--0.67758204) × R
    7.46999999999831e-05 × 6371000     		dl = 475.913699999892m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67750734--0.67758204) × R
    7.46999999999831e-05 × 6371000     		dr = 475.913699999892m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83458142--0.83448555) × cos(-0.67750734) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.779137668681095 × 6371000     		do = 475.887759176714m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83458142--0.83448555) × cos(-0.67758204) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.779090840599552 × 6371000     		du = 475.859157157215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67750734)-sin(-0.67758204))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779137668681095-0.779090840599552)×R²
    abs(-0.83448555--0.83458142)×4.68280815429933e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.68280815429933e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.68280815429933e-05×40589641000000     		ar = 226474.698313253m²