Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24064 / 40448
↖ ↑ ↗
← S 38.822591°
W 47.812500°		 ← 475.91 m → S 38.822591°
W 47.807007°		 →
↑
475.85 m
↓
↑
475.85 m
↓
S 38.826871°
W 47.812500°		 ← 475.88 m →
226 454 m²		 S 38.826871°
W 47.807007°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24064 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367195129394531 y=0.617195129394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367195129394531 × 216)
    floor (0.367195129394531 × 65536)
    floor (24064.5)     		tx = 24064
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.617195129394531 × 216)
    floor (0.617195129394531 × 65536)
    floor (40448.5)     		ty = 40448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24064 / 40448 ti = "16/24064/40448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24064/40448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24064 ÷ 216
    24064 ÷ 65536     		x = 0.3671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40448 ÷ 216
    40448 ÷ 65536     		y = 0.6171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3671875 × 2 - 1) × π
    -0.265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83448555
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6171875 × 2 - 1) × π
    -0.234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.736310778164063
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83448555} λ = -0.83448555}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.736310778164063))-π/2
    2×atan(0.478877345438407)-π/2
    2×0.446607145060981-π/2
    0.893214290121963-1.57079632675     		φ = -0.67758204
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83448555} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.812500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.67758204 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -38.822591°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24064 KachelY 40448 -0.83448555 -0.67758204 -47.812500 -38.822591
    Oben rechts KachelX + 1 24065 KachelY 40448 -0.83438967 -0.67758204 -47.807007 -38.822591
    Unten links KachelX 24064 KachelY + 1 40449 -0.83448555 -0.67765673 -47.812500 -38.826871
    Unten rechts KachelX + 1 24065 KachelY + 1 40449 -0.83438967 -0.67765673 -47.807007 -38.826871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.67758204--0.67765673) × R
    7.46900000000439e-05 × 6371000     		dl = 475.84999000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.67758204--0.67765673) × R
    7.46900000000439e-05 × 6371000     		dr = 475.84999000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83448555--0.83438967) × cos(-0.67758204) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.779090840599552 × 6371000     		do = 475.908793034919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83448555--0.83438967) × cos(-0.67765673) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.779044014440305 × 6371000     		du = 475.88018920624m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.67758204)-sin(-0.67765673))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.779090840599552-0.779044014440305)×R²
    abs(-0.83438967--0.83448555)×4.68261592474484e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.68261592474484e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.68261592474484e-05×40589641000000     		ar = 226454.38894621m²