Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24068 / 42500
↖ ↑ ↗
← S 47.055154°
W 47.790527°		 ← 416.13 m → S 47.055154°
W 47.785034°		 →
↑
416.09 m
↓
↑
416.09 m
↓
S 47.058896°
W 47.790527°		 ← 416.10 m →
173 140 m²		 S 47.058896°
W 47.785034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42500 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367256164550781 y=0.648506164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367256164550781 × 216)
    floor (0.367256164550781 × 65536)
    floor (24068.5)     		tx = 24068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648506164550781 × 216)
    floor (0.648506164550781 × 65536)
    floor (42500.5)     		ty = 42500
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24068 / 42500 ti = "16/24068/42500"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24068/42500.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24068 ÷ 216
    24068 ÷ 65536     		x = 0.36724853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42500 ÷ 216
    42500 ÷ 65536     		y = 0.64849853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2655029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83410205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64849853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2969970703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.933043814204773
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83410205} λ = -0.83410205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933043814204773))-π/2
    2×atan(0.393354588061988)-π/2
    2×0.374764478993884-π/2
    0.749528957987769-1.57079632675     		φ = -0.82126737
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83410205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82126737 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.055154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24068 KachelY 42500 -0.83410205 -0.82126737 -47.790527 -47.055154
    Oben rechts KachelX + 1 24069 KachelY 42500 -0.83400618 -0.82126737 -47.785034 -47.055154
    Unten links KachelX 24068 KachelY + 1 42501 -0.83410205 -0.82133268 -47.790527 -47.058896
    Unten rechts KachelX + 1 24069 KachelY + 1 42501 -0.83400618 -0.82133268 -47.785034 -47.058896
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82126737--0.82133268) × R
    6.53099999999851e-05 × 6371000     		dl = 416.090009999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82126737--0.82133268) × R
    6.53099999999851e-05 × 6371000     		dr = 416.090009999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83410205--0.83400618) × cos(-0.82126737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681294027344564 × 6371000     		do = 416.126059676096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83410205--0.83400618) × cos(-0.82133268) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.68124621832706 × 6371000     		du = 416.096858512909m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82126737)-sin(-0.82133268))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681294027344564-0.68124621832706)×R²
    abs(-0.83400618--0.83410205)×4.78090175044521e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78090175044521e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78090175044521e-05×40589641000000     		ar = 173139.821237226m²