Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24072 / 42504
↖ ↑ ↗
← S 47.070122°
W 47.768555°		 ← 416.05 m → S 47.070122°
W 47.763061°		 →
↑
415.96 m
↓
↑
415.96 m
↓
S 47.073863°
W 47.768555°		 ← 416.02 m →
173 056 m²		 S 47.073863°
W 47.763061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42504 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367317199707031 y=0.648567199707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367317199707031 × 216)
    floor (0.367317199707031 × 65536)
    floor (24072.5)     		tx = 24072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648567199707031 × 216)
    floor (0.648567199707031 × 65536)
    floor (42504.5)     		ty = 42504
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24072 / 42504 ti = "16/24072/42504"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24072/42504.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24072 ÷ 216
    24072 ÷ 65536     		x = 0.3673095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42504 ÷ 216
    42504 ÷ 65536     		y = 0.6485595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3673095703125 × 2 - 1) × π
    -0.265380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83371856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6485595703125 × 2 - 1) × π
    -0.297119140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.933427309401733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83371856} λ = -0.83371856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933427309401733))-π/2
    2×atan(0.393203767388115)-π/2
    2×0.374633860836171-π/2
    0.749267721672342-1.57079632675     		φ = -0.82152861
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83371856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.768555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82152861 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.070122°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24072 KachelY 42504 -0.83371856 -0.82152861 -47.768555 -47.070122
    Oben rechts KachelX + 1 24073 KachelY 42504 -0.83362268 -0.82152861 -47.763061 -47.070122
    Unten links KachelX 24072 KachelY + 1 42505 -0.83371856 -0.82159390 -47.768555 -47.073863
    Unten rechts KachelX + 1 24073 KachelY + 1 42505 -0.83362268 -0.82159390 -47.763061 -47.073863
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82152861--0.82159390) × R
    6.52899999999956e-05 × 6371000     		dl = 415.962589999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82152861--0.82159390) × R
    6.52899999999956e-05 × 6371000     		dr = 415.962589999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83371856--0.83362268) × cos(-0.82152861) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.681102773840653 × 6371000     		do = 416.052637432877m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83371856--0.83362268) × cos(-0.82159390) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.681054967845878 × 6371000     		du = 416.023435070216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82152861)-sin(-0.82159390))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681102773840653-0.681054967845878)×R²
    abs(-0.83362268--0.83371856)×4.78059947746079e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78059947746079e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78059947746079e-05×40589641000000     		ar = 173056.25915926m²