Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
9 / 241 / 369
↖ ↑ ↗
← S 61.938950°
W 10.546875°		 ← 36.779 km → S 61.938950°
W  9.843750°		 →
↑
36.580 km
↓
↑
36.580 km
↓
S 62.267923°
W 10.546875°		 ← 36.382 km →
1 338.11 km²		 S 62.267923°
W  9.843750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 9 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 241 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 369 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.4716796875 y=0.7216796875 und der Vergrößerungsstufe zoom=9 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.4716796875 × 29)
    floor (0.4716796875 × 512)
    floor (241.5)     		tx = 241
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.7216796875 × 29)
    floor (0.7216796875 × 512)
    floor (369.5)     		ty = 369
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 9 / 241 / 369 ti = "9/241/369"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/9/241/369.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 241 ÷ 29
    241 ÷ 512     		x = 0.470703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 369 ÷ 29
    369 ÷ 512     		y = 0.720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.470703125 × 2 - 1) × π
    -0.05859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.18407769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.720703125 × 2 - 1) × π
    -0.44140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.38671863220898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.18407769} λ = -0.18407769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.38671863220898))-π/2
    2×atan(0.249893954725289)-π/2
    2×0.244878853319384-π/2
    0.489757706638767-1.57079632675     		φ = -1.08103862
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.18407769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.546875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.08103862 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -61.938950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 241 KachelY 369 -0.18407769 -1.08103862 -10.546875 -61.938950
    Oben rechts KachelX + 1 242 KachelY 369 -0.17180585 -1.08103862 -9.843750 -61.938950
    Unten links KachelX 241 KachelY + 1 370 -0.18407769 -1.08678027 -10.546875 -62.267923
    Unten rechts KachelX + 1 242 KachelY + 1 370 -0.17180585 -1.08678027 -9.843750 -62.267923
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.08103862--1.08678027) × R
    0.00574165000000004 × 6371000     		dl = 36580.0521500003m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.08103862--1.08678027) × R
    0.00574165000000004 × 6371000     		dr = 36580.0521500003m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.18407769--0.17180585) × cos(-1.08103862) × R
    0.01227184 × 0.470412091102688 × 6371000     		do = 36778.6484273304m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.18407769--0.17180585) × cos(-1.08678027) × R
    0.01227184 × 0.46533766400578 × 6371000     		du = 36381.9099639763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.08103862)-sin(-1.08678027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.470412091102688-0.46533766400578)×R²
    abs(-0.17180585--0.18407769)×0.00507442709690781×R²
    0.01227184×0.00507442709690781×6371000²
    0.01227184×0.00507442709690781×40589641000000     		ar = 1338112196.71857m²