Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24128 / 42560
↖ ↑ ↗
← S 47.279229°
W 47.460938°		 ← 414.42 m → S 47.279229°
W 47.455444°		 →
↑
414.37 m
↓
↑
414.37 m
↓
S 47.282955°
W 47.460938°		 ← 414.39 m →
171 716 m²		 S 47.282955°
W 47.455444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368171691894531 y=0.649421691894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368171691894531 × 216)
    floor (0.368171691894531 × 65536)
    floor (24128.5)     		tx = 24128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.649421691894531 × 216)
    floor (0.649421691894531 × 65536)
    floor (42560.5)     		ty = 42560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24128 / 42560 ti = "16/24128/42560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24128/42560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24128 ÷ 216
    24128 ÷ 65536     		x = 0.3681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42560 ÷ 216
    42560 ÷ 65536     		y = 0.6494140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3681640625 × 2 - 1) × π
    -0.263671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82834963
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6494140625 × 2 - 1) × π
    -0.298828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.93879624215918
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82834963} λ = -0.82834963}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.93879624215918))-π/2
    2×atan(0.391098339808072)-π/2
    2×0.372809056456923-π/2
    0.745618112913845-1.57079632675     		φ = -0.82517821
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82834963} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.460938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82517821 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.279229°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24128 KachelY 42560 -0.82834963 -0.82517821 -47.460938 -47.279229
    Oben rechts KachelX + 1 24129 KachelY 42560 -0.82825375 -0.82517821 -47.455444 -47.279229
    Unten links KachelX 24128 KachelY + 1 42561 -0.82834963 -0.82524325 -47.460938 -47.282955
    Unten rechts KachelX + 1 24129 KachelY + 1 42561 -0.82825375 -0.82524325 -47.455444 -47.282955
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82517821--0.82524325) × R
    6.50399999999607e-05 × 6371000     		dl = 414.36983999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82517821--0.82524325) × R
    6.50399999999607e-05 × 6371000     		dr = 414.36983999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82834963--0.82825375) × cos(-0.82517821) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.67842605108918 × 6371000     		do = 414.417557378109m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82834963--0.82825375) × cos(-0.82524325) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.678378266802272 × 6371000     		du = 414.388368275731m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82517821)-sin(-0.82524325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.67842605108918-0.678378266802272)×R²
    abs(-0.82825375--0.82834963)×4.77842869077705e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.77842869077705e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.77842869077705e-05×40589641000000     		ar = 171716.089462862m²