Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2432 / 2432
↖ ↑ ↗
← S 31.952162°
E 33.750000°		 ← 8 292.28 m → S 31.952162°
E 33.837890°		 →
↑
8 288.93 m
↓
↑
8 288.93 m
↓
S 32.026706°
E 33.750000°		 ← 8 285.55 m →
68 706 218 m²		 S 32.026706°
E 33.837890°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2432 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5938720703125 y=0.5938720703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5938720703125 × 212)
    floor (0.5938720703125 × 4096)
    floor (2432.5)     		tx = 2432
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.5938720703125 × 212)
    floor (0.5938720703125 × 4096)
    floor (2432.5)     		ty = 2432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2432 / 2432 ti = "12/2432/2432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2432/2432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2432 ÷ 212
    2432 ÷ 4096     		x = 0.59375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2432 ÷ 212
    2432 ÷ 4096     		y = 0.59375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.59375 × 2 - 1) × π
    0.1875 × 3.1415926535     		Λ = 0.58904862
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.59375 × 2 - 1) × π
    -0.1875 × 3.1415926535     		Φ = -0.58904862253125
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.58904862} λ = 0.58904862}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.58904862253125))-π/2
    2×atan(0.554854910169195)-π/2
    2×0.506562946312123-π/2
    1.01312589262425-1.57079632675     		φ = -0.55767043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.58904862} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 33.750000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.55767043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.952162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2432 KachelY 2432 0.58904862 -0.55767043 33.750000 -31.952162
    Oben rechts KachelX + 1 2433 KachelY 2432 0.59058260 -0.55767043 33.837890 -31.952162
    Unten links KachelX 2432 KachelY + 1 2433 0.58904862 -0.55897147 33.750000 -32.026706
    Unten rechts KachelX + 1 2433 KachelY + 1 2433 0.59058260 -0.55897147 33.837890 -32.026706
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.55767043--0.55897147) × R
    0.00130103999999998 × 6371000     		dl = 8288.92583999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.55767043--0.55897147) × R
    0.00130103999999998 × 6371000     		dr = 8288.92583999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.58904862-0.59058260) × cos(-0.55767043) × R
    0.00153397999999993 × 0.848490246343458 × 6371000     		do = 8292.28379077516m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.58904862-0.59058260) × cos(-0.55897147) × R
    0.00153397999999993 × 0.847801003712716 × 6371000     		du = 8285.54783179456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.55767043)-sin(-0.55897147))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.848490246343458-0.847801003712716)×R²
    abs(0.59058260-0.58904862)×0.00068924263074166×R²
    0.00153397999999993×0.00068924263074166×6371000²
    0.00153397999999993×0.00068924263074166×40589641000000     		ar = 68706218.1453566m²