Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24320 / 57088
↖ ↑ ↗
← S 78.903929°
W 46.406250°		 ← 117.56 m → S 78.903929°
W 46.400757°		 →
↑
117.54 m
↓
↑
117.54 m
↓
S 78.904986°
W 46.406250°		 ← 117.55 m →
13 818 m²		 S 78.904986°
W 46.400757°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 57088 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.371101379394531 y=0.871101379394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.371101379394531 × 216)
    floor (0.371101379394531 × 65536)
    floor (24320.5)     		tx = 24320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.871101379394531 × 216)
    floor (0.871101379394531 × 65536)
    floor (57088.5)     		ty = 57088
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24320 / 57088 ti = "16/24320/57088"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24320/57088.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24320 ÷ 216
    24320 ÷ 65536     		x = 0.37109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 57088 ÷ 216
    57088 ÷ 65536     		y = 0.87109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37109375 × 2 - 1) × π
    -0.2578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.80994186
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.87109375 × 2 - 1) × π
    -0.7421875 × 3.1415926535     		Φ = -2.33165079751953
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.80994186} λ = -0.80994186}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.33165079751953))-π/2
    2×atan(0.0971352640105556)-π/2
    2×0.096831483108022-π/2
    0.193662966216044-1.57079632675     		φ = -1.37713336
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.80994186} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -46.406250°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.37713336 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -78.903929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24320 KachelY 57088 -0.80994186 -1.37713336 -46.406250 -78.903929
    Oben rechts KachelX + 1 24321 KachelY 57088 -0.80984598 -1.37713336 -46.400757 -78.903929
    Unten links KachelX 24320 KachelY + 1 57089 -0.80994186 -1.37715181 -46.406250 -78.904986
    Unten rechts KachelX + 1 24321 KachelY + 1 57089 -0.80984598 -1.37715181 -46.400757 -78.904986
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.37713336--1.37715181) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dl = 117.54495000002m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.37713336--1.37715181) × R
    1.84500000000032e-05 × 6371000     		dr = 117.54495000002m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.80994186--0.80984598) × cos(-1.37713336) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.192454668849152 × 6371000     		do = 117.561219299474m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.80994186--0.80984598) × cos(-1.37715181) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.192436563723191 × 6371000     		du = 117.550159756484m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.37713336)-sin(-1.37715181))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.192454668849152-0.192436563723191)×R²
    abs(-0.80984598--0.80994186)×1.81051259619536e-05×R²
    9.58800000000481e-05×1.81051259619536e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×1.81051259619536e-05×40589641000000     		ar = 13818.0776478451m²