Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24320 / 8960
↖ ↑ ↗
← N 62.915233°
E 87.187500°		 ← 556.22 m → N 62.915233°
E 87.198486°		 →
↑
556.32 m
↓
↑
556.32 m
↓
N 62.910230°
E 87.187500°		 ← 556.32 m →
309 462 m²		 N 62.910230°
E 87.198486°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24320 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 8960 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.742202758789062 y=0.273452758789062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.742202758789062 × 215)
    floor (0.742202758789062 × 32768)
    floor (24320.5)     		tx = 24320
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.273452758789062 × 215)
    floor (0.273452758789062 × 32768)
    floor (8960.5)     		ty = 8960
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24320 / 8960 ti = "15/24320/8960"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24320/8960.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24320 ÷ 215
    24320 ÷ 32768     		x = 0.7421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 8960 ÷ 215
    8960 ÷ 32768     		y = 0.2734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7421875 × 2 - 1) × π
    0.484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.52170894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2734375 × 2 - 1) × π
    0.453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.42353417111719
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.52170894} λ = 1.52170894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42353417111719))-π/2
    2×atan(4.15176759935729)-π/2
    2×1.33443714648737-π/2
    2.66887429297475-1.57079632675     		φ = 1.09807797
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.52170894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 87.187500°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09807797 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 62.915233°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24320 KachelY 8960 1.52170894 1.09807797 87.187500 62.915233
    Oben rechts KachelX + 1 24321 KachelY 8960 1.52190069 1.09807797 87.198486 62.915233
    Unten links KachelX 24320 KachelY + 1 8961 1.52170894 1.09799065 87.187500 62.910230
    Unten rechts KachelX + 1 24321 KachelY + 1 8961 1.52190069 1.09799065 87.198486 62.910230
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09807797-1.09799065) × R
    8.73200000000018e-05 × 6371000     		dl = 556.315720000012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09807797-1.09799065) × R
    8.73200000000018e-05 × 6371000     		dr = 556.315720000012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.52170894-1.52190069) × cos(1.09807797) × R
    0.000191750000000157 × 0.455308209816203 × 6371000     		do = 556.222379959165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.52170894-1.52190069) × cos(1.09799065) × R
    0.000191750000000157 × 0.455385952035487 × 6371000     		du = 556.317352905625m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09807797)-sin(1.09799065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.455308209816203-0.455385952035487)×R²
    abs(1.52190069-1.52170894)×7.77422192840826e-05×R²
    0.000191750000000157×7.77422192840826e-05×6371000²
    0.000191750000000157×7.77422192840826e-05×40589641000000     		ar = 309461.671454795m²