Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 2436 / 900
↖ ↑ ↗
← N 70.495574°
E 34.101563°		 ← 3 263 m → N 70.495574°
E 34.189453°		 →
↑
3 265.39 m
↓
↑
3 265.39 m
↓
N 70.466207°
E 34.101563°		 ← 3 267.72 m →
10 662 689 m²		 N 70.466207°
E 34.189453°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2436 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 900 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5948486328125 y=0.2198486328125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5948486328125 × 212)
    floor (0.5948486328125 × 4096)
    floor (2436.5)     		tx = 2436
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.2198486328125 × 212)
    floor (0.2198486328125 × 4096)
    floor (900.5)     		ty = 900
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2436 / 900 ti = "12/2436/900"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2436/900.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2436 ÷ 212
    2436 ÷ 4096     		x = 0.5947265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 900 ÷ 212
    900 ÷ 4096     		y = 0.2197265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5947265625 × 2 - 1) × π
    0.189453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.59518455
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2197265625 × 2 - 1) × π
    0.560546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.76100994444238
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.59518455} λ = 0.59518455}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.76100994444238))-π/2
    2×atan(5.81831059855149)-π/2
    2×1.40058809657457-π/2
    2.80117619314914-1.57079632675     		φ = 1.23037987
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.59518455} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 34.101563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.23037987 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.495574°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2436 KachelY 900 0.59518455 1.23037987 34.101563 70.495574
    Oben rechts KachelX + 1 2437 KachelY 900 0.59671853 1.23037987 34.189453 70.495574
    Unten links KachelX 2436 KachelY + 1 901 0.59518455 1.22986733 34.101563 70.466207
    Unten rechts KachelX + 1 2437 KachelY + 1 901 0.59671853 1.22986733 34.189453 70.466207
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.23037987-1.22986733) × R
    0.000512539999999895 × 6371000     		dl = 3265.39233999933m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.23037987-1.22986733) × R
    0.000512539999999895 × 6371000     		dr = 3265.39233999933m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.59518455-0.59671853) × cos(1.23037987) × R
    0.00153397999999993 × 0.333879679796468 × 6371000     		do = 3263.00162998544m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.59518455-0.59671853) × cos(1.22986733) × R
    0.00153397999999993 × 0.334362764171974 × 6371000     		du = 3267.72280710427m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.23037987)-sin(1.22986733))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333879679796468-0.334362764171974)×R²
    abs(0.59671853-0.59518455)×0.000483084375505649×R²
    0.00153397999999993×0.000483084375505649×6371000²
    0.00153397999999993×0.000483084375505649×40589641000000     		ar = 10662689.0091802m²