Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24448 / 40832
↖ ↑ ↗
← S 40.446947°
W 45.703125°		 ← 464.81 m → S 40.446947°
W 45.697632°		 →
↑
464.83 m
↓
↑
464.83 m
↓
S 40.451127°
W 45.703125°		 ← 464.78 m →
216 052 m²		 S 40.451127°
W 45.697632°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24448 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373054504394531 y=0.623054504394531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373054504394531 × 216)
    floor (0.373054504394531 × 65536)
    floor (24448.5)     		tx = 24448
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623054504394531 × 216)
    floor (0.623054504394531 × 65536)
    floor (40832.5)     		ty = 40832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24448 / 40832 ti = "16/24448/40832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24448/40832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24448 ÷ 216
    24448 ÷ 65536     		x = 0.373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40832 ÷ 216
    40832 ÷ 65536     		y = 0.623046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373046875 × 2 - 1) × π
    -0.25390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.79767001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.623046875 × 2 - 1) × π
    -0.24609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.773126317072266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79767001} λ = -0.79767001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773126317072266))-π/2
    2×atan(0.461567803007033)-π/2
    2×0.432431964120923-π/2
    0.864863928241845-1.57079632675     		φ = -0.70593240
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79767001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.703125°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70593240 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.446947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24448 KachelY 40832 -0.79767001 -0.70593240 -45.703125 -40.446947
    Oben rechts KachelX + 1 24449 KachelY 40832 -0.79757414 -0.70593240 -45.697632 -40.446947
    Unten links KachelX 24448 KachelY + 1 40833 -0.79767001 -0.70600536 -45.703125 -40.451127
    Unten rechts KachelX + 1 24449 KachelY + 1 40833 -0.79757414 -0.70600536 -45.697632 -40.451127
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70593240--0.70600536) × R
    7.29600000000108e-05 × 6371000     		dl = 464.828160000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70593240--0.70600536) × R
    7.29600000000108e-05 × 6371000     		dr = 464.828160000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79767001--0.79757414) × cos(-0.70593240) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.76100699404595 × 6371000     		do = 464.813764847719m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79767001--0.79757414) × cos(-0.70600536) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.76095965968203 × 6371000     		du = 464.784853597136m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70593240)-sin(-0.70600536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.76100699404595-0.76095965968203)×R²
    abs(-0.79757414--0.79767001)×4.73343639203483e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73343639203483e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73343639203483e-05×40589641000000     		ar = 216051.807771218m²