Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24449 / 41345
↖ ↑ ↗
← S 42.557127°
W 45.697632°		 ← 449.96 m → S 42.557127°
W 45.692139°		 →
↑
449.92 m
↓
↑
449.92 m
↓
S 42.561173°
W 45.697632°		 ← 449.93 m →
202 437 m²		 S 42.561173°
W 45.692139°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24449 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41345 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373069763183594 y=0.630882263183594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373069763183594 × 216)
    floor (0.373069763183594 × 65536)
    floor (24449.5)     		tx = 24449
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.630882263183594 × 216)
    floor (0.630882263183594 × 65536)
    floor (41345.5)     		ty = 41345
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24449 / 41345 ti = "16/24449/41345"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24449/41345.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24449 ÷ 216
    24449 ÷ 65536     		x = 0.373062133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41345 ÷ 216
    41345 ÷ 65536     		y = 0.630874633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.373062133789062 × 2 - 1) × π
    -0.253875732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79757414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.630874633789062 × 2 - 1) × π
    -0.261749267578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.822309576082443
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79757414} λ = -0.79757414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.822309576082443))-π/2
    2×atan(0.439415617849422)-π/2
    2×0.414017172825427-π/2
    0.828034345650855-1.57079632675     		φ = -0.74276198
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79757414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.697632°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.74276198 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.557127°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24449 KachelY 41345 -0.79757414 -0.74276198 -45.697632 -42.557127
    Oben rechts KachelX + 1 24450 KachelY 41345 -0.79747826 -0.74276198 -45.692139 -42.557127
    Unten links KachelX 24449 KachelY + 1 41346 -0.79757414 -0.74283260 -45.697632 -42.561173
    Unten rechts KachelX + 1 24450 KachelY + 1 41346 -0.79747826 -0.74283260 -45.692139 -42.561173
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.74276198--0.74283260) × R
    7.06199999999102e-05 × 6371000     		dl = 449.920019999428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.74276198--0.74283260) × R
    7.06199999999102e-05 × 6371000     		dr = 449.920019999428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79757414--0.79747826) × cos(-0.74276198) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.736603374657 × 6371000     		do = 449.955261582449m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79757414--0.79747826) × cos(-0.74283260) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.736555610750693 × 6371000     		du = 449.926084929591m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.74276198)-sin(-0.74283260))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.736603374657-0.736555610750693)×R²
    abs(-0.79747826--0.79757414)×4.7763906307563e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.7763906307563e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.7763906307563e-05×40589641000000     		ar = 202437.316794169m²