Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24452 / 40836
↖ ↑ ↗
← S 40.463666°
W 45.681152°		 ← 464.70 m → S 40.463666°
W 45.675659°		 →
↑
464.70 m
↓
↑
464.70 m
↓
S 40.467845°
W 45.681152°		 ← 464.67 m →
215 939 m²		 S 40.467845°
W 45.675659°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24452 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40836 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.373115539550781 y=0.623115539550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.373115539550781 × 216)
    floor (0.373115539550781 × 65536)
    floor (24452.5)     		tx = 24452
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623115539550781 × 216)
    floor (0.623115539550781 × 65536)
    floor (40836.5)     		ty = 40836
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24452 / 40836 ti = "16/24452/40836"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24452/40836.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24452 ÷ 216
    24452 ÷ 65536     		x = 0.37310791015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40836 ÷ 216
    40836 ÷ 65536     		y = 0.62310791015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.2537841796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79728651
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62310791015625 × 2 - 1) × π
    -0.2462158203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.773509812269226
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79728651} λ = -0.79728651}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.773509812269226))-π/2
    2×atan(0.461390827908227)-π/2
    2×0.432286061009655-π/2
    0.86457212201931-1.57079632675     		φ = -0.70622420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79728651} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.681152°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70622420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.463666°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24452 KachelY 40836 -0.79728651 -0.70622420 -45.681152 -40.463666
    Oben rechts KachelX + 1 24453 KachelY 40836 -0.79719064 -0.70622420 -45.675659 -40.463666
    Unten links KachelX 24452 KachelY + 1 40837 -0.79728651 -0.70629714 -45.681152 -40.467845
    Unten rechts KachelX + 1 24453 KachelY + 1 40837 -0.79719064 -0.70629714 -45.675659 -40.467845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70622420--0.70629714) × R
    7.29400000000213e-05 × 6371000     		dl = 464.700740000136m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70622420--0.70629714) × R
    7.29400000000213e-05 × 6371000     		dr = 464.700740000136m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79728651--0.79719064) × cos(-0.70622420) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.760817658245638 × 6371000     		do = 464.698120856465m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79728651--0.79719064) × cos(-0.70629714) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.760770320663029 × 6371000     		du = 464.669207639946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70622420)-sin(-0.70629714))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.760817658245638-0.760770320663029)×R²
    abs(-0.79719064--0.79728651)×4.73375826088862e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73375826088862e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73375826088862e-05×40589641000000     		ar = 215938.842738006m²