Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24512 / 40768
↖ ↑ ↗
← S 40.178873°
W 45.351563°		 ← 466.71 m → S 40.178873°
W 45.346069°		 →
↑
466.68 m
↓
↑
466.68 m
↓
S 40.183070°
W 45.351563°		 ← 466.68 m →
217 796 m²		 S 40.183070°
W 45.346069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40768 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374031066894531 y=0.622077941894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374031066894531 × 216)
    floor (0.374031066894531 × 65536)
    floor (24512.5)     		tx = 24512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622077941894531 × 216)
    floor (0.622077941894531 × 65536)
    floor (40768.5)     		ty = 40768
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24512 / 40768 ti = "16/24512/40768"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24512/40768.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24512 ÷ 216
    24512 ÷ 65536     		x = 0.3740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40768 ÷ 216
    40768 ÷ 65536     		y = 0.6220703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6220703125 × 2 - 1) × π
    -0.244140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.766990393920898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79153409} λ = -0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.766990393920898))-π/2
    2×atan(0.464408654284933)-π/2
    2×0.434771348867302-π/2
    0.869542697734605-1.57079632675     		φ = -0.70125363
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70125363 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.178873°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24512 KachelY 40768 -0.79153409 -0.70125363 -45.351563 -40.178873
    Oben rechts KachelX + 1 24513 KachelY 40768 -0.79143821 -0.70125363 -45.346069 -40.178873
    Unten links KachelX 24512 KachelY + 1 40769 -0.79153409 -0.70132688 -45.351563 -40.183070
    Unten rechts KachelX + 1 24513 KachelY + 1 40769 -0.79143821 -0.70132688 -45.346069 -40.183070
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70125363--0.70132688) × R
    7.32500000000247e-05 × 6371000     		dl = 466.675750000157m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70125363--0.70132688) × R
    7.32500000000247e-05 × 6371000     		dr = 466.675750000157m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79153409--0.79143821) × cos(-0.70125363) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.764033975868385 × 6371000     		do = 466.711284929181m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79153409--0.79143821) × cos(-0.70132688) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.763986714675967 × 6371000     		du = 466.682415359846m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70125363)-sin(-0.70132688))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.764033975868385-0.763986714675967)×R²
    abs(-0.79143821--0.79153409)×4.72611924171584e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.72611924171584e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.72611924171584e-05×40589641000000     		ar = 217796.102661354m²