Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24512 / 40896
↖ ↑ ↗
← S 40.713956°
W 45.351563°		 ← 463.01 m → S 40.713956°
W 45.346069°		 →
↑
462.98 m
↓
↑
462.98 m
↓
S 40.718119°
W 45.351563°		 ← 462.98 m →
214 358 m²		 S 40.718119°
W 45.346069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40896 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374031066894531 y=0.624031066894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374031066894531 × 216)
    floor (0.374031066894531 × 65536)
    floor (24512.5)     		tx = 24512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624031066894531 × 216)
    floor (0.624031066894531 × 65536)
    floor (40896.5)     		ty = 40896
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24512 / 40896 ti = "16/24512/40896"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24512/40896.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24512 ÷ 216
    24512 ÷ 65536     		x = 0.3740234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40896 ÷ 216
    40896 ÷ 65536     		y = 0.6240234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3740234375 × 2 - 1) × π
    -0.251953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.79153409
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6240234375 × 2 - 1) × π
    -0.248046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.779262240223633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79153409} λ = -0.79153409}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779262240223633))-π/2
    2×atan(0.458744329605081)-π/2
    2×0.430101873065779-π/2
    0.860203746131559-1.57079632675     		φ = -0.71059258
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79153409} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.351563°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71059258 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.713956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24512 KachelY 40896 -0.79153409 -0.71059258 -45.351563 -40.713956
    Oben rechts KachelX + 1 24513 KachelY 40896 -0.79143821 -0.71059258 -45.346069 -40.713956
    Unten links KachelX 24512 KachelY + 1 40897 -0.79153409 -0.71066525 -45.351563 -40.718119
    Unten rechts KachelX + 1 24513 KachelY + 1 40897 -0.79143821 -0.71066525 -45.346069 -40.718119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71059258--0.71066525) × R
    7.26699999999969e-05 × 6371000     		dl = 462.98056999998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71059258--0.71066525) × R
    7.26699999999969e-05 × 6371000     		dr = 462.98056999998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79153409--0.79143821) × cos(-0.71059258) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.757975479207299 × 6371000     		do = 463.010443277184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79153409--0.79143821) × cos(-0.71066525) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.757928075796935 × 6371000     		du = 462.981486833806m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71059258)-sin(-0.71066525))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757975479207299-0.757928075796935)×R²
    abs(-0.79143821--0.79153409)×4.7403410364244e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7403410364244e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7403410364244e-05×40589641000000     		ar = 214358.135903539m²