Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24514 / 40898
↖ ↑ ↗
← S 40.722283°
W 45.340576°		 ← 462.90 m → S 40.722283°
W 45.335083°		 →
↑
462.92 m
↓
↑
462.92 m
↓
S 40.726446°
W 45.340576°		 ← 462.88 m →
214 279 m²		 S 40.726446°
W 45.335083°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24514 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374061584472656 y=0.624061584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374061584472656 × 216)
    floor (0.374061584472656 × 65536)
    floor (24514.5)     		tx = 24514
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624061584472656 × 216)
    floor (0.624061584472656 × 65536)
    floor (40898.5)     		ty = 40898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24514 / 40898 ti = "16/24514/40898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24514/40898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24514 ÷ 216
    24514 ÷ 65536     		x = 0.374053955078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40898 ÷ 216
    40898 ÷ 65536     		y = 0.624053955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.25189208984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79134234
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624053955078125 × 2 - 1) × π
    -0.24810791015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.779453987822113
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79134234} λ = -0.79134234}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.779453987822113))-π/2
    2×atan(0.458656374914382)-π/2
    2×0.430029207621517-π/2
    0.860058415243035-1.57079632675     		φ = -0.71073791
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79134234} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.340576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71073791 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.722283°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24514 KachelY 40898 -0.79134234 -0.71073791 -45.340576 -40.722283
    Oben rechts KachelX + 1 24515 KachelY 40898 -0.79124647 -0.71073791 -45.335083 -40.722283
    Unten links KachelX 24514 KachelY + 1 40899 -0.79134234 -0.71081057 -45.340576 -40.726446
    Unten rechts KachelX + 1 24515 KachelY + 1 40899 -0.79124647 -0.71081057 -45.335083 -40.726446
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71073791--0.71081057) × R
    7.26600000000577e-05 × 6371000     		dl = 462.916860000367m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71073791--0.71081057) × R
    7.26600000000577e-05 × 6371000     		dr = 462.916860000367m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79134234--0.79124647) × cos(-0.71073791) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.757880674907939 × 6371000     		do = 462.904247353105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79134234--0.79124647) × cos(-0.71081057) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.75783327001773 × 6371000     		du = 462.875293025927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71073791)-sin(-0.71081057))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.757880674907939-0.75783327001773)×R²
    abs(-0.79124647--0.79134234)×4.74048902090463e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.74048902090463e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.74048902090463e-05×40589641000000     		ar = 214279.479036496m²