Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24516 / 41156
↖ ↑ ↗
← S 41.787697°
W 45.329590°		 ← 455.42 m → S 41.787697°
W 45.324097°		 →
↑
455.40 m
↓
↑
455.40 m
↓
S 41.791793°
W 45.329590°		 ← 455.39 m →
207 389 m²		 S 41.791793°
W 45.324097°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41156 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374092102050781 y=0.627998352050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374092102050781 × 216)
    floor (0.374092102050781 × 65536)
    floor (24516.5)     		tx = 24516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.627998352050781 × 216)
    floor (0.627998352050781 × 65536)
    floor (41156.5)     		ty = 41156
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24516 / 41156 ti = "16/24516/41156"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24516/41156.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24516 ÷ 216
    24516 ÷ 65536     		x = 0.37408447265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41156 ÷ 216
    41156 ÷ 65536     		y = 0.62799072265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37408447265625 × 2 - 1) × π
    -0.2518310546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.79115059
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62799072265625 × 2 - 1) × π
    -0.2559814453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.804189428026062
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79115059} λ = -0.79115059}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.804189428026062))-π/2
    2×atan(0.447450470416606)-π/2
    2×0.420731713621097-π/2
    0.841463427242194-1.57079632675     		φ = -0.72933290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79115059} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.329590°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72933290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.787697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24516 KachelY 41156 -0.79115059 -0.72933290 -45.329590 -41.787697
    Oben rechts KachelX + 1 24517 KachelY 41156 -0.79105472 -0.72933290 -45.324097 -41.787697
    Unten links KachelX 24516 KachelY + 1 41157 -0.79115059 -0.72940438 -45.329590 -41.791793
    Unten rechts KachelX + 1 24517 KachelY + 1 41157 -0.79105472 -0.72940438 -45.324097 -41.791793
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72933290--0.72940438) × R
    7.14800000000126e-05 × 6371000     		dl = 455.399080000081m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72933290--0.72940438) × R
    7.14800000000126e-05 × 6371000     		dr = 455.399080000081m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79115059--0.79105472) × cos(-0.72933290) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.745619105235737 × 6371000     		do = 455.415030556321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79115059--0.79105472) × cos(-0.72940438) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.745571471033168 × 6371000     		du = 455.385936167958m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72933290)-sin(-0.72940438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745619105235737-0.745571471033168)×R²
    abs(-0.79105472--0.79115059)×4.76342025693688e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.76342025693688e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.76342025693688e-05×40589641000000     		ar = 207388.96124299m²