Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24528 / 41168
↖ ↑ ↗
← S 41.836828°
W 45.263672°		 ← 455.11 m → S 41.836828°
W 45.258179°		 →
↑
455.08 m
↓
↑
455.08 m
↓
S 41.840920°
W 45.263672°		 ← 455.08 m →
207 107 m²		 S 41.840920°
W 45.258179°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374275207519531 y=0.628181457519531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374275207519531 × 216)
    floor (0.374275207519531 × 65536)
    floor (24528.5)     		tx = 24528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.628181457519531 × 216)
    floor (0.628181457519531 × 65536)
    floor (41168.5)     		ty = 41168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24528 / 41168 ti = "16/24528/41168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24528/41168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24528 ÷ 216
    24528 ÷ 65536     		x = 0.374267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41168 ÷ 216
    41168 ÷ 65536     		y = 0.628173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374267578125 × 2 - 1) × π
    -0.25146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.79000011
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.628173828125 × 2 - 1) × π
    -0.25634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.805339913616943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.79000011} λ = -0.79000011}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.805339913616943))-π/2
    2×atan(0.446935981110774)-π/2
    2×0.420302966026131-π/2
    0.840605932052262-1.57079632675     		φ = -0.73019039
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.79000011} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.263672°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73019039 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.836828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24528 KachelY 41168 -0.79000011 -0.73019039 -45.263672 -41.836828
    Oben rechts KachelX + 1 24529 KachelY 41168 -0.78990423 -0.73019039 -45.258179 -41.836828
    Unten links KachelX 24528 KachelY + 1 41169 -0.79000011 -0.73026182 -45.263672 -41.840920
    Unten rechts KachelX + 1 24529 KachelY + 1 41169 -0.78990423 -0.73026182 -45.258179 -41.840920
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73019039--0.73026182) × R
    7.14299999999835e-05 × 6371000     		dl = 455.080529999895m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73019039--0.73026182) × R
    7.14299999999835e-05 × 6371000     		dr = 455.080529999895m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.79000011--0.78990423) × cos(-0.73019039) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.745047423530157 × 6371000     		do = 455.113321333812m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.79000011--0.78990423) × cos(-0.73026182) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.744999776998283 × 6371000     		du = 455.0842163793m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73019039)-sin(-0.73026182))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.745047423530157-0.744999776998283)×R²
    abs(-0.78990423--0.79000011)×4.76465318738351e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.76465318738351e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.76465318738351e-05×40589641000000     		ar = 207106.58902134m²