Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24543 / 41057
↖ ↑ ↗
← S 41.380930°
W 45.181274°		 ← 458.34 m → S 41.380930°
W 45.175781°		 →
↑
458.33 m
↓
↑
458.33 m
↓
S 41.385052°
W 45.181274°		 ← 458.31 m →
210 065 m²		 S 41.385052°
W 45.175781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24543 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41057 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374504089355469 y=0.626487731933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374504089355469 × 216)
    floor (0.374504089355469 × 65536)
    floor (24543.5)     		tx = 24543
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626487731933594 × 216)
    floor (0.626487731933594 × 65536)
    floor (41057.5)     		ty = 41057
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24543 / 41057 ti = "16/24543/41057"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24543/41057.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24543 ÷ 216
    24543 ÷ 65536     		x = 0.374496459960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41057 ÷ 216
    41057 ÷ 65536     		y = 0.626480102539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.374496459960938 × 2 - 1) × π
    -0.251007080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.78856200
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626480102539062 × 2 - 1) × π
    -0.252960205078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.794697921901291
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78856200} λ = -0.78856200}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794697921901291))-π/2
    2×atan(0.451717668329185)-π/2
    2×0.424281421998608-π/2
    0.848562843997215-1.57079632675     		φ = -0.72223348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78856200} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.181274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72223348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.380930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24543 KachelY 41057 -0.78856200 -0.72223348 -45.181274 -41.380930
    Oben rechts KachelX + 1 24544 KachelY 41057 -0.78846612 -0.72223348 -45.175781 -41.380930
    Unten links KachelX 24543 KachelY + 1 41058 -0.78856200 -0.72230542 -45.181274 -41.385052
    Unten rechts KachelX + 1 24544 KachelY + 1 41058 -0.78846612 -0.72230542 -45.175781 -41.385052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72223348--0.72230542) × R
    7.19399999999926e-05 × 6371000     		dl = 458.329739999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72223348--0.72230542) × R
    7.19399999999926e-05 × 6371000     		dr = 458.329739999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78856200--0.78846612) × cos(-0.72223348) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.750331132722728 × 6371000     		do = 458.340882913454m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78856200--0.78846612) × cos(-0.72230542) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.750283573968714 × 6371000     		du = 458.311831578178m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72223348)-sin(-0.72230542))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750331132722728-0.750283573968714)×R²
    abs(-0.78846612--0.78856200)×4.75587540141875e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.75587540141875e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.75587540141875e-05×40589641000000     		ar = 210064.600242145m²