Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24544 / 40864
↖ ↑ ↗
← S 40.580584°
W 45.175781°		 ← 463.89 m → S 40.580584°
W 45.170288°		 →
↑
463.94 m
↓
↑
463.94 m
↓
S 40.584757°
W 45.175781°		 ← 463.86 m →
215 208 m²		 S 40.584757°
W 45.170288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40864 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374519348144531 y=0.623542785644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374519348144531 × 216)
    floor (0.374519348144531 × 65536)
    floor (24544.5)     		tx = 24544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.623542785644531 × 216)
    floor (0.623542785644531 × 65536)
    floor (40864.5)     		ty = 40864
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24544 / 40864 ti = "16/24544/40864"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24544/40864.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24544 ÷ 216
    24544 ÷ 65536     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40864 ÷ 216
    40864 ÷ 65536     		y = 0.62353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62353515625 × 2 - 1) × π
    -0.2470703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.776194278647949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.776194278647949))-π/2
    2×atan(0.460153900730779)-π/2
    2×0.431265756019201-π/2
    0.862531512038402-1.57079632675     		φ = -0.70826481
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70826481 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.580584°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24544 KachelY 40864 -0.78846612 -0.70826481 -45.175781 -40.580584
    Oben rechts KachelX + 1 24545 KachelY 40864 -0.78837025 -0.70826481 -45.170288 -40.580584
    Unten links KachelX 24544 KachelY + 1 40865 -0.78846612 -0.70833763 -45.175781 -40.584757
    Unten rechts KachelX + 1 24545 KachelY + 1 40865 -0.78837025 -0.70833763 -45.170288 -40.584757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70826481--0.70833763) × R
    7.28200000000845e-05 × 6371000     		dl = 463.936220000538m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70826481--0.70833763) × R
    7.28200000000845e-05 × 6371000     		dr = 463.936220000538m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78837025) × cos(-0.70826481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.759491789194407 × 6371000     		do = 463.888296255352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78837025) × cos(-0.70833763) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.759444416540934 × 6371000     		du = 463.859361617978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70826481)-sin(-0.70833763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.759491789194407-0.759444416540934)×R²
    abs(-0.78837025--0.78846612)×4.73726534728769e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.73726534728769e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.73726534728769e-05×40589641000000     		ar = 215207.87084951m²