Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24544 / 41055
↖ ↑ ↗
← S 41.372687°
W 45.175781°		 ← 458.35 m → S 41.372687°
W 45.170288°		 →
↑
458.33 m
↓
↑
458.33 m
↓
S 41.376808°
W 45.175781°		 ← 458.32 m →
210 069 m²		 S 41.376808°
W 45.170288°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24544 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 41055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.374519348144531 y=0.626457214355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.374519348144531 × 216)
    floor (0.374519348144531 × 65536)
    floor (24544.5)     		tx = 24544
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.626457214355469 × 216)
    floor (0.626457214355469 × 65536)
    floor (41055.5)     		ty = 41055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24544 / 41055 ti = "16/24544/41055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24544/41055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24544 ÷ 216
    24544 ÷ 65536     		x = 0.37451171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 41055 ÷ 216
    41055 ÷ 65536     		y = 0.626449584960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37451171875 × 2 - 1) × π
    -0.2509765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.78846612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.626449584960938 × 2 - 1) × π
    -0.252899169921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.794506174302811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.78846612} λ = -0.78846612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.794506174302811))-π/2
    2×atan(0.451804292411993)-π/2
    2×0.424353363654025-π/2
    0.84870672730805-1.57079632675     		φ = -0.72208960
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.78846612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -45.175781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.72208960 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -41.372687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24544 KachelY 41055 -0.78846612 -0.72208960 -45.175781 -41.372687
    Oben rechts KachelX + 1 24545 KachelY 41055 -0.78837025 -0.72208960 -45.170288 -41.372687
    Unten links KachelX 24544 KachelY + 1 41056 -0.78846612 -0.72216154 -45.175781 -41.376808
    Unten rechts KachelX + 1 24545 KachelY + 1 41056 -0.78837025 -0.72216154 -45.170288 -41.376808
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.72208960--0.72216154) × R
    7.19399999999926e-05 × 6371000     		dl = 458.329739999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.72208960--0.72216154) × R
    7.19399999999926e-05 × 6371000     		dr = 458.329739999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.78846612--0.78837025) × cos(-0.72208960) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750426238580801 × 6371000     		do = 458.351168812245m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.78846612--0.78837025) × cos(-0.72216154) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.750378687593506 × 6371000     		du = 458.322125250754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.72208960)-sin(-0.72216154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.750426238580801-0.750378687593506)×R²
    abs(-0.78837025--0.78846612)×4.75509872952529e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.75509872952529e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.75509872952529e-05×40589641000000     		ar = 210069.316356979m²